Question

已知函数f(x)=x³+2bx²+cx+1有两个极值点x1.x2，且x1∈[-2，-1]，x2∈[1,2]，则f(-1)的取值范围

来点解析步骤

Answer 1

f'(x)=3x²+4bx+c有两个实数根x1.x2，且x1∈[-2，-1]，x2∈[1,2]，

f'(x)=3x²+4bx+c是开口向上的二次函数，

f'(-2)=3(-2)²+4b(-2)+c=-8b+c+12>=0,(1)

f'(-1)=3(-1)&sup2;+4b(-1)+c=-4b+c+3<=0,(2)

f'(1)=3×1&sup2;+4b×1+c=4b+c+3<=0,(3)

f'(2)=3×2&sup2;+4b×2+c=8b+c+12>=0,(4)

令z=f(-1)=(-1)&sup3;+2b×(-1)&sup2;+c×(-1)+1=2b-c,

则c=2b-z

问题转化为求目标函数z=2b-c在约束条件(1)(2)(3)(4)下的最值问题

作出可行域，将以z为参数斜率为2的直线平移扫过可行域，直线在纵轴上截距-z的范围为[-12,-3],则z的范围为[3,12]，即f(-1)的取值范围为[3,12]

Answer 2

一开始错是因为两个极值不能同时取到，x1+x2最大时，x1x2非最小。

Answer 3

f导数=0
3x^2+4bx+c=0
x1+x2=-4b/3 x1x2=c/3
x1+x2在[-1,1] x1x2在[-4,-1]
2b在[-3/2,3/2] c在[-12,-3]
f(-1)=2b-c在[3/2,27/2]

追问

A[-3/2，3] B[3/2，6] C[3，12] D[-3/2，12]这是选项...

追答

啊。不好意思。我才疏学浅了
如果这么做呢
令x1=-1-t x2=1+s t,s都在[0,1]
f(-1)=2b-c=(-2/3)*(x1+x2)-3x1x2 带入t,s
=(-2/3)*(-1-t+1+s+2(-1-t)(1+s))
=(2/3)*(s+3t+2ts+2)
s在[0,1] 3t在[0,3] 2ts在[0,2] 合起来加2 在[2,8]
乘2/3 在[3,12]
至于之前为什么做错了我还没想清楚