Question

已知点P（0，5）及圆C：x2+y2+4x-12y+24=0，若直线l过点P且被圆C截得的线段AB长为43．（Ⅰ）求直线l的方

已知点P（0，5）及圆C：x2+y2+4x-12y+24=0，若直线l过点P且被圆C截得的线段AB长为43．（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）设直线l与圆C交于A、B两点，求以线段AB为直径的圆Q方程．

Answer 1

（Ⅰ）由已知得（x+2）²+（y-6）²=16
∴圆C的圆心C（-2，6），半径为4．…（2分）
由已知|AB|=4

3

，|AC|=4．
设D是线段AB的中点，则CD⊥AB，
∴|AD|=2

3

，
在Rt△ACD中，可得|CD|=2．…（4分）
设所求直线l的斜率为k，则直线l的方程为：y-5=kx，
即kx-y+5=0．由点C到直线AB的距离公式：

|?2k?6+5|

k2+1

=2，得k=

3

4

，…（7分）
此时直线l的方程为3x-4y+20=0．
又直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x=0．
∴所求直线l的方程为x=0或3x-4y+20=0．…（10分）
（Ⅱ）直线l的方程为x=0时，圆心为（0，6），半径为

1

2

|AB|=2

3

．
所以圆Q方程为x²+（y-6）²=12．…（12分）
直线l的方程为3x-4y+20=0时，AB中垂线方程为4x+3y+m=0．
又AB中垂线方程过圆C的圆心C（-2，6），
所以4×（-2）+3×6+m=0，即m=-10，
所以AB中垂线方程为4x+3y-10=0，
所以线段AB中点D（-0.8，4.4），半径为

1

2

|AB|=2

3

．
所以圆Q方程为（x+0.8）²+（y-4.4）²=12．…（15分）