Question

三项式x 2 -x-2n能分解为两个整系数一次因式的乘积（1）若1≤n≤30，且n是整数，则这样的n有多少个？（2

三项式x 2 -x-2n能分解为两个整系数一次因式的乘积（1）若1≤n≤30，且n是整数，则这样的n有多少个？（2）当n≤2005时，求最大整数n

Answer 1

（1）x 2 -x-2n= (x- 1+ 1+8n 2 )(x- 1- 1+8n 2 ) （3分） 则应有1+8n=9，25，49，81，121，169，225，289（7分） 相应解得n=1，3，6，10，15，21，28，36（舍去） 故当1≤n≤30时，满足条件的整数n有7个（10分） （2）观察数列1，3，6，10，发现 1=1，3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4 故n=1+2+3+…+k≤2005 ∴ (1+k)k 2 ≤2005 验证得当k=62时，n取最大值为1953（20分）