Question

已知对任意的实数m，直线x+y+m=0都不与曲线f(x)=x 3 -3ax(a∈R)相切，(Ⅰ)求实数a的取值范围；(Ⅱ)当x∈[

已知对任意的实数m，直线x+y+m=0都不与曲线f(x)=x 3 -3ax(a∈R)相切，(Ⅰ)求实数a的取值范围；(Ⅱ)当x∈[-1，1]时，函数y=f(x)的图象上是否存在一点P，使得点P到x轴的距离不小于 ，试证明你的结论。

Answer 1

解：(Ⅰ)f′(x)=3x 2 -3a∈[-3a，+∞)， ∵对任意m∈R，直线x+y+m=0都不与y=f(x)相切， ∴-1 [-3a，+∞)，-1＜-3a，实数a的取值范围是 ； (Ⅱ)存在， 证明：问题等价于当x∈[-1，1]时， ， 设g(x)=|f(x)|，则g(x)在x∈[-1，1]上是偶函数， 故只要证明当x∈[0，1]时， ， ①当a≤0时，f′(x)≥0，f(x)在[0，1]上单调递增，且f(0)=0， g(x)=f(x)，g(x) max =f(1)=1-3a＞1＞ ； ②当 时，f′(x)=3x 2 -3a= ， 列表： f(x)在 上递减，在 上递增， 注意到 ，且 ， ∴ 时，g(x)=-f(x)， 时，g(x)=f(x)， ∴ ， 由 ，解得 ，此时 成立， ∴ ， 由 ，解得 ，此时 成立． ∴ ， ∴在x∈[-1，1]上至少存在一个x 0 ，使得 成立。