Question

如图，椭圆的两顶点为A(2，0)，B（0，1），该椭圆的左右焦点分别是F1，F2．（1）在线段AB上是否存在点C，

如图，椭圆的两顶点为A(2，0)，B（0，1），该椭圆的左右焦点分别是F1，F2．（1）在线段AB上是否存在点C，使得CF1⊥CF2？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．（2）设过F1的直线交椭圆于P，Q两点，求△PQF2面积的最大值．

Answer 1

解答：解：由已知可得椭圆的方程为

x2

2

+y2＝1，
且有：a＝

2

，b＝c＝1，F₁（-1，0），
F₂（1，0），

AB

＝(?

2

，1)．
（1）假设存在点C，使得CF₁⊥CF₂，
则：OC＝

1

2

F1F2＝1，
令

AC

＝λ

AB

（λ∈[0，1]），
而

OC

＝

OA

+

AC

＝

OA

+λ

AB

=
(

2

，0)+λ(?

2

，1)＝(

2

?λ

2

，λ)，
故有：(

2

?

2

λ)2+λ2＝1，解得λ=1或λ＝

1

3

．
所以点C的坐标为C（0，1）或C(

2 2

3

，

1

3

)．

（2）若设过F₁的直线l交椭圆于P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则由焦半径公式可得：PQ＝PF1+QF1＝(a+ex1)+(a+ex2)＝2

2

+

2

2

(x1+x2)，
当PQ⊥x轴时，x₁=x₂=-1，此时S△PQF2＝

1

2

PQ?F1F2＝PQ＝2

2

?

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