Question

设{an}与{bn}中一个是收敛数列，另一个是发散数列。证明｛an±bn｝是发散数列。

又问｛anbn｝和｛an/bn}（bn≠0｝是否必为发散数列。

Answer 1

证明过程如下：

因为∑｛an±bn｝=∑｛an}±∑b{bn}=±∞

所以｛an±bn｝是发散数列。

而｛anbn｝和｛an/bn}（bn≠0｝未必为发散数列

所以设bn=1，anbn=an，an/bn=an都时收敛

而{bn}是发散数列的

扩展资料：

在收敛域上，函数项级数的和是x的函数S（x），通常称s（x）为函数项级数的和函数，这函数的定义域就是级数的收敛域。

并写成S（x）=u1（x）+u2（x）+u3（x）+......+un（x）+......把函数项级数的前n项部分和 记作Sn(x)，则在收敛域上有lim n→∞Sn(x)=S(x)

记rn(x)=S(x)-Sn(x)，rn(x)叫作函数级数项的余项 （当然，只有x在收敛域上rn（x）才有意义，并有lim n→∞rn (x)=0。

Answer 2

如果{an+bn}收敛
因{an}也收敛
对任何e
都有N1,N2
使k>N1就有 |(ak+bk) - L |<e/2,
k>N2有 |(ak) - A |<e/2

取k>N1,N2中较大者,有|bk-(L-A) |=|(ak+bk)-L+(ak-A)|< |(ak+bk) - L |+|(ak) - A |<e
可知{bn}也收敛,矛盾!
故{an+bn}发散.

把bn化入-bn可知{an-bn}发散.

{anbn}得看{an}的极限A:如果A=0则收歛,否则发散.
{an/bn}:如果{an}->A=0或{bn}->无限大则收歛,否则发散.

Answer 3

∑｛an±bn｝=∑｛an}±∑{bn}=±∞, 所以｛an±bn｝是发散数列。

｛anbn｝和｛an/bn}（bn≠0｝未必为发散数列，设bn=1，有anbn=an，an/bn=an，都时收敛的，而{bn}是发散数列的！

Answer 4

cauchy收敛原理可证第一个
第二个未必
例如：
an=0 则anbn=0收敛
bn=n，an=常数，an/bn收敛到0