Question

设a、b、c∈R，且a、b、c不全相等，则不等式a3+b3+c3≥3abc成立的一个充要条件是______

设a、b、c∈R，且a、b、c不全相等，则不等式a3+b3+c3≥3abc成立的一个充要条件是______．

Answer 1

解析　a³+b³+c³-3abc
=（a+b）³-3ab（a+b）+c³-3abc
=[（a+b）³+c³]-3ab（a+b+c）
=（a+b+c）（a²+b²+c²-ab-ac-bc）
=

1

2

（a+b+c）[（a-b）²+（b-c）²+（a-c）²]，
而a、b、c不全相等?（a-b）²+（b-c）²+（a-c）²＞0，
∴a³+b³+c³≥3abc?a+b+c≥0．
故答案为：a+b+c≥0．