Question

已知在□ABCD中，AE⊥BC于E，DF平分∠ADC交线段AE于F．（1）如图1，若AE=AD，∠ADC=60°，请直接写出线段

已知在□ABCD中，AE⊥BC于E，DF平分∠ADC交线段AE于F．（1）如图1，若AE=AD，∠ADC=60°，请直接写出线段CD与AF+BE之间所满足等量关系；（2）如图2，若AE=AD，你在（1）中得到的结论是否仍然成立，若成立，对你的结论加以证明，若不成立，请说明理由；（3）如图3，若AE：AD=a：b，试探究线段CD、AF、BE之间所满足的等量关系，请直接写出你的结论．

Answer 1

（1）CD=AF+BE， 理由是：延长EA到G，使得AG=BE，连接DG， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB ∥ CD，AD=BC， ∵AE⊥BC， ∴∠AEB=∠AEC=90°， ∴∠AEB=∠DAE=90°， ∴∠DAG=90°， 在△ABE和△DGA中 AE=AD ∠BEA=∠GAD BE=AG ∴△ABE≌△DGA， ∴DG=AB=CD，∠1=∠2， ∵平行四边形ABCD，AE⊥BC， ∴∠B=∠ADC=60°=∠G，AE⊥AD， ∴∠1=∠2=30°， ∵DF平分∠ADC， ∴∠3=∠4=30°， ∴∠AFD=60°=∠GDF， ∴DG=GF=AF+AG， ∴CD=AB=DG=AF+BE， 即CD=AF+BE． （2）（1）中的结论仍然成立． 证明：延长EA到G，使得AG=BE，连接DG， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB ∥ CD，AD=BC， ∵AE⊥BC于点E， ∴∠AEB=∠AEC=90°， ∴∠AEB=∠DAG=90°， ∴∠DAG=90°， 在△ABE和△DGA中 BE=GA ∠GAD=∠BEA AE=AD ∴△ABE≌△DGA， ∴∠1=∠2，DG=AB，∠B=∠G， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B=∠ADC， ∵∠B+∠1=∠ADC+∠2=90°，∠3=∠4， ∴∠GDF=90°-∠4，∠GFD=90°-∠3， ∴∠GDF=∠GFD， ∴GF=GD=AB=CD， ∵GF=AF+AG=AF+BE， ∴CD=AF+BE． （3）bCD=aAF+bBE， 理由是：延长EA到G，使得 BE AG = a b ，连接DG， 即AG= b a BE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB ∥ CD，AD=BC， ∵AE⊥BC于点E， ∴∠AEB=∠AEC=90°， ∴∠AEB=∠DAG=90°， ∴∠DAG=90°， 即∠AEB=∠GAD=90°， ∵ AE AD = BE AG = a b ， ∴△ABE ∽ △DGA， ∴∠1=∠2， AB DG = a b ， ∴∠GFD=90°-∠3， ∵DF平分∠ADC， ∴∠3=∠4， ∴∠GDF=∠2+∠3=∠1+∠4=180°-∠FAD-∠3=90°-∠3． ∴∠GDF=∠GFD， ∴DG=GF， ∵ AB DG = a b ，AB=CD（已证）， ∴bCD=aDG=a（ b a BE+AF）， 即bCD=aAF+bBE．