Question

高一数学必修5的一些问题, 最近看参考书上数列有些地方看不懂,请各位指教一下~

已知递推公式求数列的同项公式常见的几种解题法.
1. an+1=f(n) X an型
例题求数列a1=1/3 an=(2n-3)/(an+1) X an-1 (n>=2)的通项公式.
答案是这样的,有点看不懂.
答案:
当n>=2时, an/a1 = a2/a1 X a3/a2 X a4/a3 X .......X an/an-1
即:an=(1X3)/(2n-1)(2n+1) X 1/3 =1/(4n^2-1)
这一步是怎么来的啊?
所以当n=1时 1/(4n^2-1)=1/3 =a1 所以an=1/(4n^2-1)
哪为高人可以帮忙指点一下这几步来的详细过程 小弟不胜感激~~~
谢谢(小弟已没分给了,请见谅)

Answer 1

这是数列求通项的“累乘法”，适用于商式型递推关系。同样，如果给出的是差式型递推关系，则考虑用“累加法”。
an=(2n－3)/(2n＋1)×a(n－1)，则有：an/[a(n－1)]=(2n－3)/(2n＋1)，即：
a2/a1=1/5
a3/a2=3/7
a4/a3=5/9
a5/a4=7/11
……
an/a(n－1)=[2n－3]/[2n＋1]
将上述所有的式子相乘，得：
an/a1=3/[(2n－1)(2n＋1)]，以a1=1/3代入，有：an=1/[4n²－1]

追问

累乘?1/5 X 3/7 X 5/9 X.........X (2n-3)/(2n+1)怎么乘啊?

追答

这种方法叫累乘。你的问题：乘的结果，(1/5)×(3/7)×(5/9)×(7/11)×…×[(2n－5)/(2n－1)]×[(2n－3)(2n＋1)]，这个乘积的分子是1×3×5×7×…×(2n－5)×(2n－3)，分母是5×7×9×…×(2n－1)×(2n＋1)，这样的结果是个分式，其分子是1×3，分母是(2n－1)×(2n＋1)，即最后是结果是3/[(2n－1)(2n＋1)]=3/[4n²－1]

Answer 2

这种方法称为错项相约（与错项相抵如出一辙）
一般地an+1=f(n) X an，那么an+1/an=f(n)
有a2/a1=f(1),a3/a2=f(2)……an/an-1=f(n-1)
把以上各式相乘，得an/a1=f(1)*f(2)*……f(n-1)
当然有an=a1*f(1)f(2)……f(n-1)，化简即得

Answer 3

an+1=f(n) X an，an+1/an=f(n)
有a2/a1=f(1),a3/a2=f(2)……an/an-1=f(n-1)
把以上各式相乘，得an/a1=f(1)*f(2)*……f(n-1)
就有an=a1*f(1)f(2)……f(n-1)，也就是上面得到的