Question

若f（x）和g（x）都是奇函数，证明f[g（x）]也是奇函数

Answer 1

证明设F(x)=f[g（x）]

因为f（x）和g（x）都是奇函数。

∴f(-x)=-f(x)，g(-x)=-g(x)。

则F(-x)=f[g（-x）]=f[-g（x）]=-f[g（x）]=-F(x)

即F(x)是奇函数。

则f[g（x）]也是奇函数。

扩展资料：

1、两个奇函数相加所得的和或相减所得的差为奇函数。

2、一个偶函数与一个奇函数相加所得的和或相减所得的差为非奇非偶函数。

3、两个奇函数相乘所得的积或相除所得的商为偶函数。

4、一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积或相除所得的商为奇函数。

5、当且仅当f（x）=0（定义域关于原点对称）时，f（x）既是奇函数又是偶函数。奇函数在对称区间上的积分为零。

Answer 2

证明设F(x)=f[g（x）]
因为f（x）和g（x）都是奇函数
∴f(-x)=-f(x)，g(-x)=-g(x)
则

F(-x)=f[g（-x）]=f[-g（x）]=-f[g（x）]=-F(x)
即F(x)是奇函数
则
f[g（x）]也是奇函数

Answer 3

由已知得-f(x)=f(-x),g(x)=-g(-x),则
f[g（x）]=f[-g（-x）]=-f[g（-x）]
所以f[g（x）]为奇函数。