Question

F(X-1)和F(x+1)是奇函数F(x)是什么函数,怎么证明

Answer 1

设F（x）＝f（x＋1），

则F（x）是奇函数，

则有：F（－x）＝－F（x）

又：F（x）＝f（x＋1）

====>>>> F(－x)=f(－x＋1) 

F（x）＝f（x＋1）

则：F（－x）＝－F（x）

====>>>>  f(－x＋1)

＝－f（x＋1）

如果在x=0处函数的值f（0）存在，则因为f(-0)=-f(0)--->2f(0)=0--->f(0)=0，是一定的。但是如果在x=0时函数不存在，当然就没有f（0）=0。

例如反比例函数y=k/x,的定义域是x<>0.所以f(0)<>0而不存在。

扩展资料

奇函数：

如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（-x）=-f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称。

方法点评：

①如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量。

②若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝－f（－x）解相关参数。

③已知奇函数大于0的部分的函数表达式，求它的小于0的函数表达式，如奇函数f（x），当x＞0时，f（x）＝x2＋x那么当x＜0时，－x＞0。

有f（－x）＝（－x）2＋（－x）⇒－f（x）＝x2－x⇒f（x）＝－x2＋x。

Answer 2

周期函数 周期为4
因为F(x-1)是奇函数
由 奇函数关于原点对称 和 《附》中第0条，得到F(x)关于点 （1,0）对称
同理 F(x)关于点（-1,0）对称
由《附》中第14条结论，得到 F(x)是周期为4的周期函数。

附：

关于函数的周期性和对称性的几条结论：
0. f(x+t)可由f(x)向左平移t个单位得到（t为负表示向右平移）
1.若 f(x+T)=f(x), 则f(x)是以 T 为周期的函数 (可逆推)
2.若 f(x+a)=f(x+b), 则f(x)是以 |a-b|为周期的函数 (可逆推)
3.若 f(x+t)=-f(x), 则f(x)是以 2t 为周期的函数
4.若 f(x+t)=1/f(x), 则f(x)是以 2t 为周期的函数
5.若 f(x+t)=-1/f(x),则f(x)是以 2t 为周期的函数
6.若 f(t+x)=f(t-x), 则f(x)图像的对称轴为 直线x=t 且f(x+t)为偶函数 (可逆推)
7.若 f(2t-x)=f(x), 则f(x)图像的对称轴为 直线x=t (可逆推)
8.若 f(x+a)=f(b-x), 则f(x)图像的对称轴为 直线x=(a+b)/2 (可逆推)
9.若 f(t+x)=-f(t-x),则f(x)图像的对称中心为 点(t,0) (可逆推)
10.若 f(2t-x)=-f(x), 则f(x)图像的对称中心为 点(t,0) (可逆推)
11.若 f(x+a)=-f(b-x),则f(x)图像的对称中心为 点((a+b)/2,0) (可逆推)
12.若 T为f(x)周期， 则 nT 也为f(x)周期（n为整数，n可以为负数）
13.若 f(x)有两个对称轴:x=a与x=b, 则f(x)是以 2|a-b| 为周期的函数
14.若 f(x)有两个对称中心:(a,m)与(b,m), 则f(x)是以 2|a-b| 为周期的函数
15.若 f(x)有一个对称轴:x=a 和一个对称中心:(b,m)，则f(x)是以 4|a-b| 为周期的函数
证明：
1. 定义，不用证。
2. f(x+a)=f(x+b) 用 x-a 代换x 得
f[(x-a)+a]=f[(x-a)+b] 即f(x)=f(x+b-a) 所以f(x)周期为b-a， 我们习惯上取周期为正
，故加绝对值，所以是 |a-b|
3. f(x+t)=-f(x) 用 x+t 代换x 得
f[(x+t)+t]=-f(x+t)=f(x) 即 f(x+2t)=f(x) ，即 f(x)是以 2t 为周期的函数
4. 略。仿照3
5. 略。仿照3
6. 不用证。这是一个等价条件，即 f(t+x)=f(t-x) <=> (这三个符号是一起的，意思是等价
于) f(x)图像的对称轴为 直线 x=t
可以想象：t+x即在t的右边距离为x、t-x即在t的左边距离为x，也就是说在t左右两边距t
相等的位置（t+x和t-x）
的函数值f(t+x)和f(t-x)也相等 显然函数图像关于x=t是对称的
7. f(2t-x)=f(x) 用 x+t 代换x 得
f[2t-(x+t)]=f(x+t) 即f(t-x)=f(t+x) 由6得 f(x)图像的对称轴为 直线x=t
8. f(x+a)=f(b-x) 用 x-a 代换x 得
f[(x-a)+a]=f[b-(x-a)] 即f(x)=f(b+a-x) 由7得 f(x)图像的对称轴为 直线x=(a+b)/2
9. 不用证。仿照6
10. 略。仿照7
11. 略。仿照8
12. 不用证。
13. f(x)有两个对称轴:x=a与x=b。 由7得 f(2a-x)=f(x)且f(2b-x)=f(x)
所以f(2a-x)=f(2b-x) 用 -x 代换 x 得
f(2a+x)=f(2b+x) 由2得 f(x)是以 2|a-b| 为周期的函数
14. 令g(x)=f(x)-m ，显然 f(x)与g(x)的对称性和周期性都相同， 故 g(x)有两个对称中心:
(a,0)与(b,0)。
仿照13的方法 可以得到 g(x)是以 2|a-b| 为周期的函数， 故 f(x)是以 2|a-b| 为周
期的函数。
15. 略。仿照14