Question

已知函数f(x)的定义域为D，且f(x)同时满足以下条件

已知函数f(x)的定义域为D，且f(x)同时满足以下条件：①f(x)在D上单调递增或单调递减
②存在区间[a,b]包含于D（其中a<b）使得f(x)∈[a,b]，那么我们把函数f(x)(x∈D）叫做闭函数
若y=k+√(x+2)是闭函数，求实数k的取值范围

Answer 1

楼上的我认为有点问题，f(x)∈[a,b]不是说f（x）的值域是[a,b]，而是说f(x)的值域属于[a,b].
所以我认为：
定义域x>=-2,且-2<=a<=x<=b;
可以很容易看出函数y=k+√(x+2)是单调递增的。
那第①条件满足。
看第②条件，x∈[a,b]，由于单调递增，则
k+√(a+2)<=y<=k+√(b+2)
而值域是属于[a,b]的，顾 需满足
k+√(a+2)>=a 且k+√(b+2)<=b;
解得 a-√(a+2)<=k<=b-√(b+2) 其中 -2<=a<=b。

Answer 2

定义域x>=-2

若-2<=a<=x<=b
则k+√(a+2)<=y<=k+√(b+2)
值域也是[a,b]
则a=k+√(a+2)
b=k+√(b+2)
所以x=k+√(x+2)有两个不同的，大于等于-2的解
(x-k)^2=x+2
x^2-(2k+1)x+k^2-2=0
a>=-2,b>-2
a+b=2k+1,ab=k^2-2

a+2>=0,b+2>0
所以a+2+b+2>0
2k+1+4>0
k>-5/2

(a+2)(b+2)>=0
ab+2(a+b)+4>=0
k^2-2+4k+2+4>=0
(k+2)^2>=0
成立

判别式大于0
(2k+1)^2-4(k^2-2)>0
4k+1+8>0
k>-9/4

所以k>-9/4

Answer 3

就是K＞－9/4…原函数明显递增。在[a,b]的定义域内就有f(a)=a,f(b)=b。