Question

导数 设a大于0,函数f(x)=(ax+b)/(x^2+1),b为常数。 1、求证函数f(x)的极大值点和极小值各有一个

2、若函数f(x)的极大值为1，极小值为-1，试求a的值。
要求解答过程完整，详细。

Answer 1

分式函数求导f'(x)=[a(x²+1)-(ax+b)2x]/(x²+1)²=[-ax²-2bx+a]/(x²+1)²
分子Δ=4b²+4a²＞0可知f'(x)=0必有两个交点，∴f(X)必有极大值点和极小值各有一个

追问

2、若函数f(x)的极大值为1，极小值为-1，试求a的值。

追答

令f"(x)=0得两根，设x₁=[-b-√(b²+a²)]/a, x₂=[-b+√(b²+a²)]/a
则f(x₁)=-1, f(x₂)=1, 代入后不用化简，发现f(x₁), f(x₂)分子互为相反数，所以f(x₁), f(x₂)的分母一样。所以可以得到b=0，再把b=0随便代入f(x₁)=-1或f(x₂)=1都可得到a=2