Question

求微分方程满足初始条件的特解（1）y〃-4y′+3y=0,y(0)=6,y′(0)=10;(2)y〃+y=－sin2x,y(π)=1,y′(π)=1

大一高数，做对追分，急~~~~

Answer 1

解：
1.
y〃-4y′+3y=0
特征方程为r^2-4r+3=0
特征根r1=1,r2=3
齐次方程通解为y=C1e^x+C2e^(3x)
初始条件y(0)=6,y′(0)=10
得C1+C2=6,C1+3C2=10
解得C1=4,C2=2
特解为y=4e^x+2e^(3x)

2.
y〃+y=-sin2x
对应齐次方程特征方程为
r^2+1=0
特征根r1,2=±i
对应齐次方程通解为
y=c1sinx+c2cosx
又2i不是特征根可设其特解为
y*=asin2x+bcos2x
代入有-3asin2x-3bcos2x=-sin2x解得a=1/3,b=0
特解为y*=(1/3)sin2x
非齐次方程通解为
Y=y+y*=c1sinx+c2cosx+(1/3)sin2x
初值条件y(π)=1,y′(π)=1得
-c2=1,-c1+2/3=0解得c1=2/3,c2=-1
非齐次方程特解为
y=(2/3)sinx-cosx+(1/3)sin2x