Question

关于x的一元二次方程x²-（k+2）x＋12=0和2x²-（3k+1）x+30=0有一个公共根。则K的值为多少。有步

Answer 1

设x=t是公共根，则t²-（k+2）t＋12=0，2t²-（3k+1）t+30=0
t²-（k+2）t＋12=0，则t²=(k+2)t-12 ，代入2t²-（3k+1）t+30=0，得
2[(k+2)t-12]-（3k+1）t+30=0
2(k+2)t-24-(3k+1)t+30=0
(3-k)t=-6
所以t=6/(k-3) ,代入t²-（k+2）t＋12=0，得
36/(k-3)²-(k+2)×6/(k-3) ＋12=0
两边乘以(k-3)²，得
36-6(k+2)(k-3)+12(k-3)²=0
36-6(k²-k-6)+12(k²-6k+9)=0
k²-11k+30=0
(k-5)(k-6)=0
所以 k=5或k=6
当k=5时，两个方程是x²-7x＋12=0和2x²-22x+30=0，此时有一个公共解x=3
当k=6 时，两个方程是x²-8x＋12=0和2x²-19x+30=0，此时有一个公共解x=2
所以 k=5 或 k=6

Answer 2

设x²-（k+2）x＋12=0两根为a,b,则ab=12
设2x²-（3k+1）x+30=0两根为c,d,则cd=15
而12,15的公约数为3
即可得两方程有公共解为3
分别把x=3代入x²-（k+2）x＋12=0；2x²-（3k+1）x+30=0可得
k=5

Answer 3

所以由题得
x²-（k+2）x＋12=2x²-（3k+1）x+30
此时有 x^2+(k+2)x+18-(3k+1)x=0
x^2-(2k-1)x+18=0
因为只有一个公共根 所以可以配成完全平方式 所以|2k-1|=6根号2
所以k=(1+6根号2)/2 或 k=(1-6根号2)/2