Question

求数列1,3a,5a2,7a3,…,(2n-1)a的n-1次方的前n项和

Answer 1

解：若a=1，则数列变成等差数列，a1=1, d=2
所以 Sn=nA1+n(n-1)/2*d=n+n(n-1)/2*2=n^2
若a不等于1，用错位相减法求和
Sn=1+3a+5a^2+7a^3+...+(2n-1)a^(n-1) (1)
两边乘a, aSn= a+3a^2+5a^3+...+(2n-3)a^(n-1)+(2n-1)a^n (2)
(1)-(2) Sn-aSn=1+2[a+a^2+a^3)+...+a^(n-1)]-(2n-1)a^n
a+a^2+a^3)+...+a^(n-1)是等比数列，其和为[a(1-a^(n-1))/(1-a)]
(1-a)Sn=1+2[a(1-a^(n-1))/(1-a)])]-(2n-1)a^n={[1-a-2a^n-2na^n+a^n+2na^(n+1)-a^(n+1)]/1-a}
Sn =[1+a-(2n+1)a^n+(2n-1)a^(n+1)]/(1-a)^2

Answer 2

Sn=1+3a+5a^2+7a^3++++++++(2n-3)a^(n-2)+(2n-1)a^(n-1)
aSn=0+a +3a^2+5a^3+ +(2n-5)a^(n-2)+(2n-3)a(n-1)+(2n-1)a^n
(1-a)Sn=[1+2a+2a^2+2a^3++++2a^(n-2)+2a^(n-1)-(2n-1)a^n]
=2[1+a+a^2+a^3++++++a^(n-2) +a^(n-1)]-1-(2n-1)a^n
=2*[1-a^n]/(1-a)-1-(2n-1)a^n
到这里了自己去算吧。