Question

一道立体几何证明题

四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，AB//CD，AB垂直与BC，PC垂直与AD，PA垂直与底面ABCD，PA=AB=BC，点E在棱PB上，且PD//平面EAC，
（1）求证：PE=2EB
（2）求二面角E-AD-C的大小

Answer 1

（1）证明：∵PA垂直平面ABCD
∴PA垂直AD
∵PC垂直AD，且交直线PA与点P
∴直线AD垂直平面PAC，即AD垂直AC
假设直线AC与直线BD相交与点O，则平面PBD与平面EAC相交与直线EO
∴若PD//平面EAC，则PD必然平行交线EO
∴PE：EB = OD：OB
∵三角形ABC的面积是三角形ACD面积的一半
∴在等底AC的情况下得出OD：OB =2：1
∴PE = 2EB
（2） 解：过E做垂线EG垂直直线DA延长线于G，过G做直线GH平行直线AC并交直线BC于点H。
∵AC垂直AD
∴GH垂直直线AD
∴AD垂直平面EGH
∴二面角E-AD-C的大小等于角EGH
∵EO//PA，所以EO 垂直HG，EO = 1/3，OG = HG - HO = 5/12√2
∴该二面角的大小为 arctan(2√2/5)

追问

请问下“三角形ABC的面积是三角形ACD面积的一半”是如何得出来的？？

追答

过点A做直线AW垂直CD于点W，因为前面已经证明了∠CAD是直角（DA⊥AC），而且△ABC是直角等腰三角形，AC边是底，所以∠BCA是45°，又因为BC⊥CD，所以∠ACD也是45°，所以△ACD也是直角等腰三角形，CD是底边，△AWC的面积等于△ABC的面积，等于△AWD的面积，所以△ABC的面积是△ACD面积的一半。

这个主要是弄清它们之间的关系，然后把草图画出来就很容易可以知道它们之间的面积比例了，所以我上面没有说明

追问

那能再麻烦你用法向量的方法求解下二面角的大小吗？？因为我考试的时候用的是arccos表示的，所以我想看看答案对不对。谢谢谢谢谢谢谢谢！！

追答

以A为坐标原点，向量AB作为X轴正方向，AP作为Z轴正方向，AW（点W是CD的中点）作为Y轴的正方向，线段AP的长度作为单位长度建立右手空间直角坐标系。那么各个点的坐标分别是
A（0,0,0），D(-1,1,0) ， E(2/3,0,1/3)， C(1,1,0) 。所以向量AE = （2/3,0,1/3），向量AD = （-1,1,0），假设△ADE所在的平面的一个法向量P1 = （x1，y1，z1），可得：
2x1/3 + z1/3 = 0 , x1 - y1 = 0; 我们取P1 = （1,1,-2）。接下来是求出△ACD所在平面的法向量，同理，我们假设该法向量 P2 = （x2，y2，z2），因为向量AC = （1,1,0），那么可得：
x2 + y2 = 0 , x2 - y2 = 0;所以我们取 P2 = （0,0,1）（实际上我们看都可以看出来，P2是与Z轴共线的）。现在法向量都算出来了，但是二面角的大小是取[0°，180°]之间的，所以我们要控制两个法向量的方向，使它们的夹角刚好就等于二面角的大小，会有不少老师可能会说我们用观察的方法去看二面角是锐角还是钝角，然后再取值，这种方法在大多数情况下是可行的，但是我们以前就有碰到一道题目是不能用这个方法做的，因为二面角实在是太接近直角了，然后我们学校的老师就产生了两种不同的观点，一个认为看起来像钝角，一个认为看起来像锐角，事实上只要控制一下法向量的方向就不会出现模棱两可的情况。我们控制两个法向量使得 它们的Z分量都大于0（不同的情况控制的分量是不同的，实际上我们就是要使得两个向量朝向同一边，如果不是太清楚的话你也可以让两个向量都朝向夹角内部，然后得到的结果再取个补角就行了），现在我们取P1 = （-1,-1,2），P2 = （0,0,1），那么这两个向量的夹角θ可求得，cosθ = 2/（√6） = √6/3。 所以二面角的大小为 arccos √6/3. 其实。。。这个答案和我上面得到的答案是不同的，看来要么是我上面算错了，要么是这次算错了，不过用向量的方法是比较不容易出错的，所以应该我最开始给你的那个纯几何的方法算错了，不过方法应该是没有问题的，高考的时候最好都要用向量的方法做，因为纯几何的做法不容易找到思路，而且计算容易出错，就像我上面那样子。其实arctan化成arccos是很容易的，你可以随便去做个直角三角形然后就能把二者互相换算了，当然得注意角度是否大于90°。