Question

（好的追加分数）在线等微积分 1 已知lim(x趋于0)[[f(x)-1]/x-sinx/x^2]=2,求lim(x趋于0)f(x)

Answer 1

lim(x趋于0){[f(x)-1]/x-sinx/x²}=lim(x趋于0){[f(x)-1]-sinx/x}/x
=lim(x趋于0){[f(x)-1]-1}/x
=lim(x趋于0)[f(x)-2]/x
=2
可见，当x→0时，f(x)-2与x为等价无穷小，故lim(x趋于0)[f(x)-2]=0，
得：lim(x趋于0)f(x)=2.

Answer 2

首先进行通分
原式=lim（x趋于0）【x[f(x)-1]-cosx】/x^2
分子分母都趋于0，应用洛比达法则
原式=lim（x趋于0）【f(x)-1+xf'(x)-cos】/2x=2
该极限是存在的，而分母趋于0，故分子的极限也是趋于0（这样才符合洛比达法则）
即lim（x趋于0）【f(x)-1+xf'(x)-cos】=0
所以f(0)-1+0-1=0
f(0)=2
进一步可以求出原极限为2的条件，不过是f‘（x）的关系，与本题无关
lim(x趋于0)f(x) =f(0)=2

Answer 3

2
lim(x趋于0)[[f(x)-1]/x-sinx/x^2]
=lim(x趋于0)[[xf(x)-x-sinx]/x^2]
=lim(x趋于0)[[f(x)-2]/x+(x-sinx)/x^2]
而lim(x趋于0)[x-sinx/x^2]
(利用洛毕达法则易得lim(x趋于0)[x-sinx/x^2]
=lim(x趋于0)[1-cosx/（2x)]=0)
则原式
=lim(x趋于0)[[f(x)-2]/x，
利用极限的定义可以知道，若要这个式子成立，则必须要
lim(x趋于0)[f(x)-2]=0
则lim(x趋于0)f(x)=2