Question

如果关于x的方程x2+44x-n2-n-20=0有有理数根，求正整数n的值

Answer 1

x178;-(m+2)x+m-2=0的两根异号，则有x1x2lt;0
即m-2lt;0，得mlt;2
且正根x1绝对值大于负根x2的绝对值，则x1+x2;0
即m+2;0, 得m;-2
从而-2lt;mlt;2

mx178;+(n-2)x+m178;-3=0的两根为x3, x4
两根之积=2， 得x3x4=(m178;-3)/m=2, 得：m178;-2m-3=0
(m-3)(m+1)=0
由于-2lt;mlt;2, 所以得m=-1.
从而方程为-x178;+(n-2)x-2=0
即x178;-(n-2)x+2=0
根为有理数，则判别式为完全平方
即(n-2)178;-8=k178;, 这里k;=0为整数
(n-2)178;-k178;=8
(n-2+k)(n-2-k)=8
因为n-2+k与n-2-k的奇偶性相同，且n-2+k;=n-2-k, 而8=2x4=-2x(-4)
因此只有以下可能：
n-2+k=4, n-2-k=2 , 解得：n=5
n-2+k=-2, n-2-k=-4, 解得: n=-1
综合得：n=5, 或-1