Question

问一个高数题，求函数u＝xyz在条件x²＋y²＋z²＝1及x＋y＋z＝0下的极值？

极大值和极小值

Answer 1

∵x＋y＋z＝0，∴（x＋y＋z）^2＝0，∴x^2＋y^2＋z^2＋2（xy＋yz＋xz）＝0，
又x^2＋y^2＋z^2＝1，∴xy＋yz＋xz＝－1/2。
很明显，当x＝0时，xyz＝0。
当x不为0时，由xy＋yz＋xz＝－1/2，得：xyz＋x^2（y＋z）＝－x/2，
∴xyz＋x^2［（x＋y＋z）－x］＝－x/2，∴xyz－x^3＝－x/2，∴xyz＝x^3－x/2。
令f（x）＝xyz＝x^3－x/2，得：f′（x）＝3x^2－1/2，f″（x）＝6x。
∴当x＜0时，f（x）有极大值，当x＞0时，f（x）有极小值。
令f′（x）＝0，得：3x^2－1/2＝0，∴x^2＝1/6，∴x＝1/√6，或x＝－1/√6。
∴当x＝－1/√6时，f（x）的极大值＝（－1/√6）^3＋1/（2√6）＝（1/18）√6。
当x＝1/√6时，f（x）的极小值＝（1/√6）^3－1/（2√6）＝－（1/18）√6。
∴xyz的极大值为（1/18）√6，极小值为－（1/18）√6。

Answer 2

dx+dy+dz=0……①
2xdx+2ydy+2zdz=0
xdx+ydy+zdz=0……②
②-z*①
(x-z)dx+(y-z)dy=0
dx=-(y-z)dy/(x-z)
dz=-(dx+dy)=(y-z)dy/(x-z)-dy=(y-x)dy/(x-z)
du=yzdx+zxdy+xydz
=-yz(y-z)dy/(x-z)+zxdy+xy(y-x)dy/(x-z)
=(yz^2-zy^2+zx^2-xz^2+xy^2-yx^2)dy/(x-z)
yz^2-zy^2+zx^2-xz^2+xy^2-yx^2=0
(y-x)z^2+(x^2-y^2)z+xy^2-yx^2=0
(x-y)(x^2+y^2)-(x^2-y^2)(x+y)+xy^2-yx^2=0
3xy^2-3yx^2=0
x=0 or y=0 or x=y
1) 当x=0时，y=-1/√2，z=1/√2或y=1/√2，z=-1/√2，u=0
2) 当y=0时，x=-1/√2，z=1/√2或x=1/√2，z=-1/√2，u=0
3) 当x=y时，x=y=1/√6，z=-2/√6，u=-√6/18 or x=y=-1/√6，z=2√6，u=√6/18
∴u最大值=√6/18，u最小值=-√6/18