Question

四边形ABCD中，角BAD=角ACB=90°AB=AD,AC=4BC设CD的长为X,四边形ABCD的面积为y则y与x的函数关系式是多少？

Answer 1

解：
∵ AC=4BC
∴ 设 BC = a （a ＞ 0）
则 AC = 4a

过点D 作 DE ⊥ AC 于 点E

∵ ∠BAD = 90°
∴ ∠BAC + ∠DAE = 90° --------------------- ①

∵ ∠ACB = 90°
∴ ∠BAC + ∠B = 90° ---------------------- ②

由 ① ② 得： ∠DAE = ∠B

在 Rt△DAE 和 Rt△ABC 中
∠DAE = ∠B （已证）
∠AED = ∠BCA = 90°
AD = BA （已知）
∴ Rt△DAE ≌ Rt△ABC （AAS）

∴ AE = BC = a 且 DE = AC = 4a （全等三角形对应边相等）

则 EC = AC -- AE
= 4a -- a
= 3a

在 Rt△DEC 中，DE = 4a，EC = 3a，
由勾股定理求得 DC = 5a，即：X = 5a

∴ a = X / 5

Rt△ABC的面积 S1 = （1/2）× BC × AC
= （1/2）× a × 4a
= 2 ×（a的平方）

△ADC的面积 S2 = （1/2）× AC × DE
= （1/2）× 4a × 4a
= 8 ×（a的平方）

∴ 四边形ABCD的面积 y = S1 + S2
= 2 ×（a的平方） + 8 ×（a的平方）
= 10 ×（a的平方） （把a = X / 5 代入得）
= 10 × [（X / 5）的平方 ]
= 10 × [ X平方/ 25 ]
= （2/5）× （X平方）
= 2X2/ 5

∴ y则y与x的函数关系式是： y = 2X2/ 5