Question

设 f(x)在〔a,b〕上具有一阶连续导数，且｜f‘ (x)｜≤M，f(a)=f(b)=0,求证∫(a,b)f(x)dx≤M/4(b-a)^2

Answer 1

记c=(a+b)/a,即区间的中点。
∫[a,b]f(x)dx=∫[a,c]f(x)dx +∫[c,b]f(x)dx <= ∫[a,c]|f(x)|dx +∫[c,b]|f(x)|dx
（1）先估计∫[a,c] |f(x)|dx ：
由中值定理 |f(x)|=|f(a)+f'(p)(x-a)|=|f'(p)(x-a)|<=M|x-a| ,其中 a<p<c,
积分得，∫[a,c]|f(x)|dx <= ∫[a,c]M|x-a|dx =M∫[a,c](x-a)dx=(c-a)^2 *M/2=(b-a)^2 *M/8
（2）再估计∫[c,b]|f(x)|dx
由中值定理 |f(x)|=|f(b)+f'(q)(x-b)|=|f'(q)(x-b)|<=M|x-b| ,其中 c<q<b,
积分得，∫[c,b]|f(x)|dx <= ∫[c,b]M|x-b|dx =M∫[c,b](b-x)dx=(c-b)^2 *M/2=(b-a)^2 *M/8
然后将（1）（2）所得的估计相加立得结论。

Answer 2

证明如下：

Answer 3

设F‘（x)=f(x） 则存在x0∈（a,b） 使∫(a,b)f(x)dx=F（b)-F(a)=F'(x0)(b-a)=f(x0)（b-a)
f(x0)=f(x0)-f(a)=f'(x1)(x0-a) ,x1∈（a,x0)
f(x0）=)=f(x0)-f(b)=f'(x2)(x0-b) ,x2∈（x0,b) -M<=f‘ (x)≤M
∫(a,b)f(x)dx=F（b)-F(a)=F'(x0)(b-a)=f(x0)（b-x0+x0-a)
=f(x0)（b-x0)+f(x0)（x0-a)=-f'(x1)(x0-a)(x0-b)+ f'(x2)(x0-a)(x0-b)≤|f'(x2)-f'(x1)|（(x0-a)（b-x0))
<=2M[(b-x0)+(x0-a)]^=M(b-a)^2/2???4??