Question

已知函数f(x)=x/(x^2+1),x≥0，用增（减）函数的定义探究函数f(x)的单调区间。

Answer 1

设d>0 （任意小的正数), x ≥0
f(x+d) - f(x) = (x+d)/[(x+d)^2 + 1] - x/(x^2 +1)
= {(x+d)(x^2 + 1) - x[(x+d)^2 + 1] }/{[(x+d)^2 + 1]*(x^2 +1)}
分母总为正，只考虑分子:
分子 = (x+d)(x^2 + 1) - x[(x+d)^2 + 1] = x^3 + dx^2 + x +d -x(x^2 + 2dx + d^2+1)
= x^3 + dx^2 + x +d - x^3 -2dx^2 -(d^2 +1)x
= -dx^2 -d^2x +d
= d(-x^2 -dx +1)
d为任意小的正数, dx可以不计, x>1时, -x^2+1 < 0, f(x)为减函数
1 > x ≥0时, -x^2+1 > 0, f(x)为增函数