Question

设f(x)=x^2,0≤x<1;f(x)=x,1≤x≤2,求I(x)=∫0到x f(t)dt在[0,2]上的表达式

Answer 1

(1/2)x^2-1/6
解题过程如下：
分段函数f(x)的分段点是x=1，
显然在x->
1-的时候，f(x)的左极限等于1^2=1，
而x=1及x->1+
时，f(x)的右极限和函数值都等于1，
所以f(x)在其定义域[0，2]上是连续的，
因此其积分函数
I(x)=∫0到x
f(t)dt在[0,2]上也是连续的，
当x∈[0,1)
时，
I(x)=∫0到x
t^2
dt
=(1/3)x^3
当x∈[1,2]时，
I(x)=∫0到x
f(t)
dt
=∫0到1
t^2
dt
+
∫1到x
t
dt
=1/3
+
∫1到x
t
dt
=1/3
+(x^2-1)/2
=(1/2)x^2-1/6
分段函数，就是对于自变量x的不同的取值范围，有着不同的解析式的函数。它是一个函数，而不是几个函数；分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域也是各段函数值域的并集。
扩展资料
求分段函数的最小正周期的方法有：定义法、公式法和作图法。
例6
求函数f(x)=
的最小正周期。
定义法：当x=2kπ或2kπ+π时，sin(2kπ+π)=sin2kπ=0
当2kπ-π<x<2kπ时,2kπ<x+π<2kπ+π,k∈z
f(x)=-sinx
,f(x+π)=sin(x+π)=-sinx
,
即有f(x+π)=f(x)
，同理可证：当2kπ<x<2kπ+π
（k∈z）时，
有f(x+π)=f(x)
，所以f(x)
的最小正周期是π。
公式法：∵（2kπ-π，2kπ）∪[2kπ，2kπ+π]=R
，
（k∈z）
x∈（2kπ-π，2kπ）,sinx
<0
,x∈[2kπ，2kπ+π],sinx
≥0
.
∴f(x)=|sinx|=
=
所以f(x)
的最小正周期T=
=π

Answer 2

分段函数f(x)的分段点是x=1，
显然在x->
1-的时候，f(x)的左极限等于1^2=1，
而x=1及x->1+
时，f(x)的右极限和函数值都等于1，
所以f(x)在其定义域[0，2]上是连续的，
因此其积分函数
I(x)=∫0到x
f(t)dt在[0,2]上也是连续的，
当x∈[0,1)
时，
I(x)=∫0到x
t^2
dt
=(1/3)x^3
当x∈[1,2]时，
I(x)=∫0到x
f(t)
dt
=∫0到1
t^2
dt
+
∫1到x
t
dt
=1/3
+
∫1到x
t
dt
=1/3
+(x^2-1)/2
=(1/2)x^2-1/6
你是错在直接在[1,2]上用牛顿莱布尼茨公式上限减下限，
答案“在[1,2]上”的意思并不是∫(1到2)f(x)dx，
而是积分函数I(x)=∫0到x
f(t)
中的积分上限x在[1,2]上
要注意I(x)=∫0到x
f(t)dt
这个定积分是从0积到x的，
所以在[1,2]上
要先从0积到1，再加上1积到x