Question

如图，点P是等边三角形ABC内部一点，且PA=2,PB=2倍根号3，pc=4,求三角形ABC边长

如图，点P是等边三角形ABC内部一点，且PA=2,PB=2倍根号3，pc=4,求三角形ABC边长

Answer 1

把三角形BPC沿B点逆时针旋转60度,BC与BA重合,得到三角形BDA
BPD也是等边三角形，PD=PB=2√3
AD=PC=4
三角形APD三边为2，2√3 ，4
角APD为直角，
三角形APB中，AP=2，BP=2√3，角APB=90+60=150度
余弦定理得到AB=√(4+12-2*2*2√3*cos150)=2√7
故三角形ABC的边长为2√7

Answer 2

解： 将三角形APB沿着B点顺时针旋转60度，则BA与BC重叠，此时P点到了D点；
易证 角PBD等于60度，BP=BD，故三角形BPD是正三角形；
三角形PDA的三边分别为 PA=2，PD=2√3，PC=AD=4，故三角形PDA是直角三角形；
从而可以求得 三角形PAD的面积= 1/2*PA*PD=2√3，三角形PBD的面积=3√3；
而 三角形PAD的面积+三角形PBD的面积 = 三角形PAB的面积+三角形PBC的面积=5√3；
同理可求得 三角形PAC的面积+三角形PBC的面积 =6√3；
三角形PAC的面积+三角形PAB的面积=3√3；
将以上每两个小三角形的面积相加，得到原正三角形面积的2倍 =14√3；
所以 原正三角形的面积=7√3；由正三角形面积与边的关系得边长
S =√3a²/4，得到 a²=4s/√3=28；所以边长a=2√7。

Answer 3

可以用特殊法来求解。设PA,PB.PC.任意两线之间的夹角都为120度，以p为点，分别引长为PA=2,PB=2倍根号3，pc=4,的ABC三点，连起来就是三角形ABC
根据余弦公式，AC^2=PA^2+PC^2-2*PA*PC*COS APC ，同理可求出AB,BC
AB=根号下【4*（4+根号3)】
BC=根号下【4*（7+2*根号3)】
AC=2*根号7