Question

求一道初二数学题解法

若x+y+z=9，3x+y-z=15，x,y,z均为非负数，求5x+4y+2z的最大值与最小值。

求解题过程，悬赏100分。

Answer 1

x+y+z=9①
3x+y-z=15②
①+②，得4x+2y=24，解得y=12-2x
代入①，解得z=x-3
因为x,y,z均为非负数，所以x≥0且x-3≥0且12-2x≥0，所以3≤x≤6
5x+4y+2z
=5x+4(12-2x)+2(x-3)
=42-x
因为3≤x≤6
所以-3≥-x≥-6
所以39≥42-x≥36
所以
5x+4y+2z的最大值是39，最小值是36

Answer 2

5x+4y+2z
=3(x+y+z)+(3x+y+z)-x
=3*9+15-x
=42-x

x+y+z=9............1
3x+y-z=15............2
1式+2式得
4x+2y=24
x+2y=12
y=(12-x)/2...........3
将3式代入1式得
x+(12-x)/2+z=9
x+6-x/2+z=9
x/2+z=3
z=3-x/2
z为非负数
0<=z<=3
0<=3-x/2<=3
-3<=-x/2<=0
-6<=-x<=0

42-6<=42-x<=42
36<=42-x<=42
所以5x+4y+2z的最大值是：42；最小值是：36

Answer 3

由x+y+z = 30 (1), 3x+y-z = 50 (2)得
(2)-(1): 2x-2z = 20 所以 x = 10+z
(1)*3 - (2): 2y+4z = 40, 所以 y = 20-2z
M = 5x+4y+2z
= 5(10+z) + 4(20-2z) + 2z
= 50 + 5z + 80 - 8z + 2z
= 130 - z

x为非负数推出： z>=-10（z不小于 -10）
y为非负数推出： z<=10（z不大于10)
z为非负数推出： z>=0（z不小于0）

所以z的范围是[0， 10]（不小于0，不大于10）
M的范围是[120， 130]（不小于120，不大于130）

Answer 4

x+y+z=9
3x+y-z=15
5x+4y+2z=m
把m当作常数，解此方程组
x=42-m
y=2m-72
z=39-m
因为x,y,z,均为非负数
42-m>=0
2m-72>=0
39-m>=0
所以m<=42,m>=36,m<=39所以最大值42，最小值36

Answer 5

x+y=9-z, 3x+y=15+z, 假设z为已知数，解方程组得 x=6, y=3-z
所以5x+4y+2z = 5*6+4*(3-z)+2z = 30+12-4z+2z = 42-2z
因为 x,y,z均为非负数, 所以 y=3-z>=0, 所以0<= z<=3
把z的取值范围带入等式中，得到5x+4y+2z的最小值为36， 最大值为42.

Answer 6

x+y+z=9
3x+y-z=15
5x+4y+2z=m
把m当作常数，
解x=42-m
y=2m-72
z=39-m
x,y,z,均为非负数
42-m>=0
2m-72>=0
39-m>=0
所以m<=42,m>=36,m<=39
所以最大值42，最小值36