Question

已知函数f(x)=x2+2/x+alnx 若f(x)在[1,+∞)上单调递增，求a的取值范围

已知函数f(x)=x平方+2/x+alnx 若f(x)在[1,+∞)上单调递增，求a的取值范围

Answer 1

对f(x)求导，得2x-2/x^2+a/x,要使f(x)在规定的范围上单调递增，则2x-2/x^2+a/x>=0在x>=1上恒成立。对不等式进行变形得a<=2x^2-2/x(x>=1)上恒成立。如果我们令g(x)=2x^2-2/x,则我们只需要求g(x)的最小值即可。我们对g(x)求导得4x+2/x^2,由于x>=1，所以4x+2/x^2>0 ,所以g(x)为单调增函数，其最小值在x=1 处取得，其最小值为g(1)=0,所以a<=0