Question

已知M(3,2),F为y^2=2x的焦点,点P在该抛物线上移动,当|PM|+|PN|取最小值时,点P的坐标为

已知M(3,2),F为y^2=2x的焦点,点P在该抛物线上移动,当|PM|+|PN|取最小值时,点P的坐标为

y^2=2x，F（0.5，0）,准线x=-0.5
x=3,|y|=√6>2,M(3,2)在抛物线内
PM//X轴,与抛物线的交点即为|PM|+|PF|取最小值的点P
这时|PM|+|PF|最小值=点M到准线的距离
y=2,x=2
P(2,2)

为何PM//X轴就可取到最小值？

Answer 1

任取一点P在抛物线上，有|PM|+|PF|，由抛物线定义知，有P点到焦点F的距离等于到准线的距离，设PN垂直于准线，|PM|+|PF|=|PM|+|PN| 由图知三点共线时|PM|+|PN|=|MN| 所以可知当MN垂直准线时|PM|+|PN|最小 即|PM|+|PF|最小。

Answer 2

由抛物线的定义知点P到焦点的距离等于点P到准线的距离，于是|PF|+|PM|等于|PM|加点P到准线的距离，显然当PM//X轴就可取到最小值。画图看看就清楚了。