Question

三角形ABC的三边长均为整数。且面积也是整数,如果它的一边长为21，周长为48，求它最短边的长。

Answer 1

48-21=27，另两边和为27，可分为1+26、2+25、3+24……
如果1+26，那么26>21+1，不行
如果2+25，那么25>21+2，也不行
如果3+24，那么24=21+3，也不行
所以最短边至少是4，再根据海伦公式：
S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]，其中s=(a+b+c)/2=48/2=24，从4+23开始试一下
最短边为4的时候，S=√24*3*20*1，不是整数
最短边为5的时候，S=√24*3*19*2，不是整数
最短边为6的时候，S=√24*3*18*3，不是整数
最短边为7的时候，S=√24*3*17*4，不是整数
最短边为8的时候，S=√24*3*16*5，不是整数
最短边为9的时候，S=√24*3*15*6，不是整数
最短边为10的时候，S=√24*3*14*7=84，和题意，所以最短边为10

Answer 2

设b为最短边， 且 b+c=27 , S=根号（24*3（24-b)(b-3)是整数 ；
S=6根号（2（24-b)(b-3) 可设 24-b=k(b-3)
代入验证得：b=10 c=17 最短边为10

Answer 3

根据已知条件可知，在边长为21上的高必然是2的倍数，根据已知条件，按照勾股定理，其高最高不得超过根号下27的平方减去21的平方，即不得高于17，最多为16.然后将边长21依次分解为两个整数之和，根据勾股定理，我们知道3、4、5；6、8、10；9、12、15；5、12、13；12、16、20；是20以内的几组勾股数。试分别取高为4、6、8、10、12，16即可求得另外两边的整数边长，当该高等于8时，可知最短的边长为10，另一边长为17.