Question

如图，边长为5的正方形OABC的的顶点O在坐标原点上....

原题：如图,边长为5的正方形OABC的顶点O在坐标原点处,点A,C分别在x轴,y轴的正半轴上 ，点E是OA边上的点（不与点A重合），EF⊥CE，且与正方形外交品分线AG交于点P
1.当点E坐标为（3,0）时，试证明CE＝EP
2.如果将上述条件 点E坐标为（3,0） 改为 点E坐标为（t，0），结论是否仍然成立
3，在y轴是否存在点M，使四边形BMEP是平行四边形？若存在，用t表示M的坐标

Answer 1

解：（1）在OC上截取OG=OE，则AE=CG，∠EAP=∠CGE=135°

∵CE⊥EP

∴∠CEO+∠PEA=90°

又∵∠OCE+∠OEC=90°，

∴∠GCE=∠AEP

∴△GCE≌△AEP

∴CE=EP，即不论点E的坐标是多少，都存在CE=EP

2)

CE=EP仍成立

同理△COE∽△EHP，

∴ CO:OE=EH:HP

由题意知：CO=5OE=1EH=5-1+HP

∴ 整理得（5-1）HP=t（5-t）

∵点E不与点A重合

∴5-t≠0∴HP=tEH=5

∴在Rt△COE和Rt△EHP中

CE= EP= √25+t²

∴CE=EP

（3）y轴上存在点M，使得四边形BMEP是平行四边形

过点B作BM‖EP交y轴于点M

∴∠5=∠CEP=90°∴∠6=∠4

在△BCM和△COE中 

∴△BCM≌△COE

∴BM=CE

而CE=EP

∴BM=EP

由于BM‖EP

∴四边形BMEP是平行四边形

由△BCM≌△COE可得CM=OE=t

∴OM=CO-CM=5-t

故点M的坐标为（0，5-t）