Question

初三数学题，急用

将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD）的斜边恰好重合。已知AB=2√3，P是AC上的一个动点。
（1）当点P运动到∠ABC得平分线上时，连接DP，求DP的长。
（2）当点P在运动过程中出现PD=BC时，求此时∠PDA的度数；
（3）当点P运动到什么位置时，以D、P、B、Q为顶点的平行四边形的顶点恰好在边BC上？求出此时平行四边形DPBQ的面积

Answer 1

解：（1）当点P运动到∠ABC得平分线上时，连接DP，求DP的长。

求DP 解法一：
由题意，在 Rt△ABC 中，
∠ABC = 60° ，AB = 2√3，

由 sin∠ABC = AC / AB 得：
AC = AB × sin∠ABC
= 2√3 × sin60°
= 2√3 × （√3/2）
= 3

由 cos∠ABC = BC / AB 得：
BC = AB × cos∠ABC
= AB × cos60°
= 2√3 × （1/2）
= √3

∵ BP 平分 ∠ABC，
∴ ∠PBC = （1/2）× ∠ABC
= （1/2）× 60°
= 30°

在 Rt△PBC 中，
PC = BC × tan∠PBC
= BC × tan30°
= √3 × (√3/3)
= 1

在等腰直角三角形ADC中，
过点D 作DE ⊥ AC 与 点E，
则：DE = EC = (1/2) × AC = (1/2) × 3 = 3/2

∴ EP = EC -- PC
= 3/2 -- 1
= 1/2

在Rt△DEP 中，由勾股定理得：
DP方 = DE方 + EP方
= (3/2)方 + (1/2)方
= 10 / 4
∴ DP = √(10/4) = (√10) / 2

以上解答中，您也可以由“在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半”直接得出BC = AB/2 = √3。进而用勾股定理求出AC=3。

求DP 解法二：适用高中知识“余弦定理”。
在等腰直角△ADC中，DC = AC × cos∠DCA
= AC × cos45°
= 3 × (√2/2)
= (3√2) / 2
∴ DC方 = [ (3√2) / 2 ]方 = 9/2
∴ DP方 = DC方 + PC方 -- 2 × DC × PC × cos∠DCA
= 9/2 + 1 -- 2 × [ (3√2) / 2 ] × 1 × cos45°
= 9/2 + 1 -- 2 × [ (3√2) / 2 ] × 1 × (√2/2)
= 9/2 + 1 -- 3
= 5/2

∴ DP = √(5/2) = (√10) / 2。

（2）当点P在运动过程中出现DP=BC时，
此时∠PDA的度数为：15° 或 75° ，需分别讨论：

在等腰直角三角形ADC中，∠DAP = 45°
过点D 作DE ⊥ AC 与 点E，
则：DE = EC = (1/2) × AC = (1/2) × 3 = 3/2

而DP = BC = √3

∵ √3 ≠ 3/2 ，即 DP 与 DE 不重合、点P与点E不重合，
∴ 当点P在运动过程中出现DP=BC时， 有两个时刻：
① 点P尚未越过 点E 前；② 点P越过 点E 之后。

① 点P尚未越过 点E 前：
在 Rt△DPE 中，
sin∠DPE = DE / DP
= (3/2) / √3
= √3 / 2

而 sin60° = √3 / 2

∴ ∠DPE = 60°

∴由 “三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和” 知：
∠DPE = ∠DAP + ∠PDA

∴∠PDA = ∠DPE -- ∠DAP
= 60° -- 45°
= 15°

② 点P越过 点E 之后：
在 Rt△DPE 中，
sin∠DPE = DE / DP
= (3/2) / √3
= √3 / 2

而 sin60° = √3 / 2

∴ ∠DPE = 60° ，即：∠DPA = 60°

在 △DPA 中，由三角形内角和定理得：
∠PDA = 180° -- ∠DPE -- ∠DAP
= 180° -- 60° -- 45°
= 75°

（3）顶点 “Q” 恰好在边BC上。您题中少打了 Q 。

当点P运动到AC的中点处时，
以D、P、B、Q为顶点的平行四边形的顶点Q恰好在边BC上。理由如下：

∵ 四边形DPBQ 是平行四边形
∴ DP ‖ BQ
而 BQ ⊥ AC
∴ DP ⊥ AC 。即：DP是等腰Rt△DAC的底边AC 上的高。
∴ 点P 此时为线段AC的中点。（等腰三角形底边上的高平分底边）
∴当点P运动到AC的中点处时，以D、P、B、Q为顶点的平行四边形的顶点Q恰好在边BC上。

求此时平行四边形DPBQ的面积：
以 DP 为底，以 DP 与 BQ 间的 垂线段长 为高。

DP 与 BQ （也可以说DP 与 BC）间的垂线段长即为PC。

∵ DP ⊥ AC
∴ 点P为AC的中点
∴ PC = DP = AC/2 = 3/2

∴ S平行四边形DPBQ = DP × PC
= (3/2) × (3/2)
= 9/4

Answer 2

1）根据AB=2根号3，可知BC=根号3，AD=CD=3根号2/2；
P运动到∠ABC的平分线上，则∠CBP=∠ABP=30°；
所以，CP=BC*tan30°=1
因此，根据余弦定理，可知，DP^2=CP^2+CD^2-2*CP*CD*cos∠DCA
=1+9/2-2*1*3/2=5/2
所以，DP=根号10/2
2）PD=BC=根号3，同样DP^2=CP^2+CD^2-2*CP*CD*cos∠DCA
3=CP^2+9/2-3CP
可解得，CP=（3+根号3）/2或者（3-根号3）/2；
这样，可以把AP也就求出来
这样△ADP三边都知道了，然后求∠PDA应该还是用余弦定理求出（过程可能有点麻烦）
3）由于DP//BC,而BC垂直AC,则可知DP也垂直与AC
又因为△ACD是等腰△，所以P就为AC的中点
所以DP=PA=PC=3/2;
利用余弦定理，也可以求出来BP,同时∠BPC也可以求出来了这样子∠DPB也就求出来了
在平行四边形中，已知每条边的长度，以及一个∠DPB显然可以求出面积了（具体计算你自己计算一下吧，我们学校里宿舍马上就要断网了，我也来不及算了，你自己算一下吧）
另外注意：上面那个同学直接说的面积=DP*PC也好像不对的，因为Q点不是和C重合的，要是重合的，就是这个意思了）

Answer 3

已知AB=2√3，易得AC=3，BC=√3，AD=CD=2分之3倍根号2
（1）当点P运动到∠ABC得平分线上时，连接DB，得AP=BP=2PC=2
在三角形APD中，求出了AP,AD并已知∠PAD=45度
用余弦定理即可求出DP
（2）当点P在运动过程中出现PD=BC时，PD=BC=√3
在三角形APD中，已知AD，PD，并已知∠PAD=45度
用正弦定理可求此时∠PDA
（3）当点P运动到什么位置时，以D、P、B、Q为顶点的平行四边形的顶点恰好在边BC上？求出此时平行四边形DPBQ的面积
什么 地方出来一个Q点？在BC边上吗？
那么有DP须平行于BC，即DP⊥AC，即为等腰直角三角形ACD底边上的高，P点位于AC的中点位置时，满足要求
可求出DP=3/2,PC=AC/2=3/2，平行四边形DPBQ的面积=DP×PC=9/4

Answer 4

设原方程为x²+bx+c=0
甲抄错了常数项，得到的两根分别是8和2
根据韦达定理，b=-（8+2）=-10
乙抄错了一次项系数，得到的两根分别是-9和-1
c=（-9）×（-1）=9
原方程是x²-10x+9=0
x²-10x+25+9=25
（x-5）²=16
x-5=±4
x=5±4
所以x=9，或x=1