Question

一道数学必修5等比数列的题

若数列{a的第n项}，{b的第n项}满足a1=2，且n∈自然数，3*[a的第(n+1)项]-a的第n项=0，b的第n项是a的第n项与a的第(n+1)项的等差中项，求{b的第n项}的前n项和。

最好有详细的解题过程，谢谢！

Answer 1

3*[a的第(n+1)项]-a的第n项=0
a(n+1)=1/3*an
数列an是等比数列a1=1,q=1/3 an=(1/3)^(n-1)
b的第n项是a的第n项与a的第(n+1)项的等差中项，
2bn=an+a(n+1)=(1/3)^(n-1)+(1/3)^n=[1+1/3]*(1/3)^(n-1)
bn=(2/3)*(1/3)^(n-1)
数列bn是以b1=2/3为首项，1/3为公比的等比数列
{b的第n项}的前n项和
Sn=[(2/3)*(1-(1/3)^n)]/(1-1/3)
=1-(1/3)^n)

追问

请问一下，第三行，你说a1=1，为什么a1=1呢，题中说a1=2啊？

追答

看错了a1=2
数列an是等比数列a1=2,q=1/3 an=2*(1/3)^(n-1)
b的第n项是a的第n项与a的第(n+1)项的等差中项，
2bn=an+a(n+1)=2*(1/3)^(n-1)+2*(1/3)^n=2*[1+1/3]*(1/3)^(n-1)
bn=(4/3)*(1/3)^(n-1)
数列bn是以b1=4/3为首项，1/3为公比的等比数列
{b的第n项}的前n项和
Sn=[(4/3)*(1-(1/3)^n)]/(1-1/3)
=2-2*(1/3)^n)