Question

对正整数n，设曲线y=xn(1-x)在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列{an /n+1}的前n项和的公式是

对正整数n，设曲线y=xn(1-x)在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列{an /n+1}的前n项和的公式是

Answer 1

y'=nx^(n-1)-(n+1)x^n
故切线斜率k为n2^(n-1)-(n+1)2^n
代入笔者求出的切线方程得：
an=-2k-2^n=2(n+1)2^n-n2^n-2^n=(n+1)2^n
则数列an/(n+1)即为等比数列2^n
Sn=2^(n+1)-1

Answer 2

解：y'=nx^n-1-（n+1）x^n，
曲线y=x^n（1-x）在x=2处的切线的斜率为k=n2^(n-1)-（n+1）2^n
切点为（2，-2n），
所以切线方程为y+2^n=k（x-2），
令x=0得an=（n+1）2^n，
令bn=an/(n+1)=2^n
数列{an/n+1}的前n项和为2+22+23+……+2n=2^(n+1)-2．
故答案为：2^(n+1)-2．

Answer 3

∵y＝xn(1－x)，
∴y′＝(xn)′(1－x)＋(1－x)′•xn
＝n•xn－1(1－x)＋(－xn)．
f′(2)＝－n•2n－1－2n＝(－n－2)•2n－1.
∵函数在点x＝2处点的纵坐标为y＝－2n.
∴切线方程为y＋2n＝(－n－2)•2n－1(x－2)，与y轴交点纵坐标为y＝(n＋1)•2n＝an
∴ann＋1＝2n，∴数列ann＋1成等比数列，首项为2，公比为2，
∴前n项和为21－2n1－2＝2(2n－1)＝2n＋1－2.
答案：2n＋1－2