Question

对正整数n,设曲线y=x^n(1-x)在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标an,则数列{nan/n+1}

的前n项和的公式是？

Answer 1

本题考查：导数的应用，错位相减求和法。
y=xⁿ（1-x）
y'=nxⁿ⁻¹（1-x）+xⁿ×（-1）
∵x=2
∴y=-2ⁿ，k=-（n+2）2ⁿ⁻¹
∴l：y+2ⁿ=-（n+2）2ⁿ⁻¹（x-2）
令x=0，得an=y=（n+1）2ⁿ。
从而nan/（n+1）=n2ⁿ。
Sn=1×2+2×2²+...+（n-1）2ⁿ⁻¹+n2ⁿ
2Sn=1×2²+2×2³+...+（n-1）2ⁿ+n2ⁿ⁺¹
-Sn=2+2²+2³+...+2ⁿ⁻¹+2ⁿ-n2ⁿ⁺¹
=（1-n）2ⁿ⁺¹-2
Sn=（n-1）2ⁿ⁺¹+2
综上，数列{nan/（n+1）}的前n项和为（n-1）2ⁿ⁺¹+2.