Question

对正整数n,设曲线y=xn(1-x)在x=2处得切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列{an/(n+1)}的前n项和的公式是？

对正整数n,设曲线y=xn(1-x)在x=2处得切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列{an/(n+1)}的前n项和的公式是？

Answer 1

y=x^n*(1-x)
y'=n*x^(n-1)(1-x)-x^n，
x=2时， y'=-n*2^(n-1) -2^n，
k=-n*2^(n-1) -2^n，
切点：（2,-2^n）,所以切线方程为：
y+2^n=[-n*2^(n-1) -2^n](x-2),根据题意过点(0,an)有：
an+2^n=2*[n*2^(n-1) +2^n]
an=2^n(n+1);

an/n+1=2^n,所以为等比数列，则有：
sn=2*(1-2^n)/(1-2)=2^(n+1)-2.

Answer 2