Question

请问在高等数学的无穷级数题目中: 将函数展开成泰勒级数和将函数展开成幂级数是一个意思吗？

请给出稍微详细点的解释，马上给分

Answer 1

形如∑a<n>*(x-x0)^n的无穷级数称为幂级数，n从几开始无所谓，但一定是到∞，否则应该叫多项式；

幂级数中的系数a<n>如果是：a<n>=f^<n>(x0)/n!，这个幂级数就称为函数f(x)在x0处的泰勒级数；

任何一个函数的泰勒级数都是幂级数，但幂级数并不一定是某个函数的泰勒级数；

f(x)在x0处的泰勒级数取前面有限多项，称为f(x)在x0处的泰勒公式，如果取到a<n>*(x-x0)^n这项为止，就称为f(x)在x0处的n阶泰勒公式；
f(x)在x0处的泰勒级数与f(x)在x0处的泰勒公式的差，称为f(x)在x0处的泰勒公式的余项，泰勒中值定理把这个余项表达成一个有限的式子，即拉格朗日型的余项。
综上所言
幂级数和泰勒级数没有本质的区别！要求具有任意阶导数
而泰勒公式则只要求有n+1阶导数就可以展开成n阶泰勒公式当余项极限为0时可以展开成级数