Question

设数列{an}的前n项和为Sn，且sn=n*n-4n+4,设Bn=An/2的n次方，则数列{Bn}的前n项和Tn为？

标准答案为Tn=1-（2的n次方分之2n-1） n属于正无穷，求详细解答过程，越具体越好，快，谢谢！答得好的,视情况而定，额外再加悬赏分5~20分~
谢谢大家如此热心！现修改一下悬赏分额外加分范围：5~30分 如果没有新的解答 出现（ 比这里列举出来的更详细的） ，就选取目前表述最具体的那个好了~

Answer 1

先求an
令n=1，a1=s1=1；
当n>=2时，an=Sn-Sn-1=(n-2)^2-(n-3)^2（注a^b表示a的b次方）
=2n-5
（注意，数列an不是一个等差数列，首项不符合上面的通项公式，只是一个从第二项开始的等差数列，平时通过Sn求an时要注意不要忘了首项的验证。）
Tn=b1+b2+……bn
（这是一个等差数列和一个等比数列相乘求和的类似问题，一般用错位相减法，为了让你更好的理解错位相减法，我就不用题中的数字直接代入了）
我们引进一个数列cn=(1/2)^n则cn是一个等比数列且bn=an*cn
Tn=a1c1+a2c2+a3c3+……+ancn
则 1/2Tn= a1c2+a2c3+……an-1cn+ancn+1
（注意，这个Tn前面乘的系数是等比数列cn的公比，然后错位相减，中间的一部分可以凑成一个等比数列求和。）
两式相减得1/2Tn=a1c1+(a2-a1)c2+(a3-a2)c3+……+(an-an-1)cn-ancn+1
=1/2-2(1/2)^2+2(1/2)^3+……+2(1/2)^n-(2n-5)(1/2)^n+1
则Tn=1-1+2(1/2)^2+……+2(1/2)n-1-(2n-5)(1/2)^n=1/2+1/2^2+……+1/2^(n-2)-(2n-5)/2^n
=1-(2n-1)/2^n
这个题主要是要知道错位相减法。

追问

谢谢，请问 错位相减法中两式是怎样相减的？还是不太清楚，特别最后两项是怎样减来的？对于Tn=1-1+2(1/2)^2+……+2(1/2)n-1-(2n-5)(1/2)^n=1/2+1/2^2+……+1/2^(n-2)-(2n-5)/2^n
=1-(2n-1)/2^n
中的1-(2n-1)/2^n
是不可能直接得来的，除了运用等比数列前n项和的求和公式外求出得数，还需要把得数化简才能得出1-(2n-1)/2^n
这个结果，请问是如何化简出来的？答得好的话额外再加30分悬赏分好了~谢谢你的时间！

追答

先说错位相减法吧，这里，我就用一个一般的表达式和你讲：
错位相减法一般是用于一个等比数列和一个等差数列乘积的前n项和的求解
不妨设数列an是一个公差为d的等差数列，数列bn是一个公比为q的等比数列，cn=an*bn要求cn的前n项和Sn的问题，都是用错位相减法来做的，这是一个很重要的方法，具体操作如下：
Sn=c1+c2+c3+……+cn
=a1b1+a2b2+a3b3+……anbn
qSn=a1b1q+a2b2q+a3b3q+……anbnq
=a1b2+a2b3+a3b4+……an-1bn+anbn+1
然后用Sn去减qSn，但要注意是用Sn的第二项去减qSn的第一项，第三项减第二项，……，第n项减第（n-1）项，而Sn的第一项和qSn的最后一项保留，不参与这个减法，之后就可以得到如下算式：
(1-q)Sn=a1b1+(a2-a1)b2+(a3-a2)b3+……+(an-an-1)bn-anbn+1
=a1b1+d(b2+b3+……+bn)-anbn+1
=a1b1-d*b1+d(b1+b2+……+bn)-anbn+1
之后，中间的那一部分就是等比数列bn的前n项和，可以用公式求出，然后再与剩下的几项合并整理一下，但别忘了Sn前面还有个系数要除过来，就可以求出Sn。
这就是错位相减法的全过程，一般是用于一个等差数列和一个等比数列的乘积的前n项和问题的求解，当然，这个等差数列和等比数列并不要求是严格的等差或等比，如题中的数列an 并不是等差数列，但他是从第二项开始的等差数列，后面的一部分可以错位相减，前面的凑一下也还是可以计算的。
对于：Tn=1-1+2(1/2)^2+……+2(1/2)n-1-(2n-5)(1/2)^n=1/2+1/2^2+……+1/2^(n-2)-(2n-5)/2^n
=1-(2n-1)/2^n
其实这个最后一步我并没有去化简，而是直接把你提供的答案搬下来了，对着电脑打字没有用稿纸，相信你是可以理解的，因为是纯计算，我没稿纸担心算错，就没有去计算，但我相信我的思路是完全没问题的，所以就没有去算，实在不好意思了，现在就把那些补上来了：
前面一部分1/2+1/2^2+……+1/2^(n-2)是一个等比数列，但只有n-2项，由等比数列求和公式
1/2+1/2^2+……+1/2^(n-2)=1/2（1-1/2^(n-2)）/（1-1/2）=1-1/2^(n-2)=1-4/2^n
则Tn=1-1+2(1/2)^2+……+2(1/2)n-1-(2n-5)(1/2)^n=1/2+1/2^2+……+1/2^(n-2)-(2n-5)/2^n
=1-4/2^n-(2n-5)/2^n
=1-(2n-1)/2^n
楼主多加点分哈。。嘿嘿。。

Answer 2

Sn=n^2-4n+4
Sn-1=(n-1)^2-4(n-1)+4=n^2-6n+9
an=Sn-Sn-1
=n^2-4n+4-(n^2-6n+9)
=2n-5
Bn=An/2^n=(2n-5)/2^n
Tn =-3/2 + (-1/4) + 1/8 + 3/16 +.......(2n-7)/2^(n-1) + (2n-5)/2^n
Tn/2 = -3/4 + (-1/8) + 1/16 +.......(2n-9)/2^(n-1) + (2n-7)/2^n + (2n-5)/2^(n+1)
Tn-Tn/2=-3/2 +1/2 +1/4+1/8+......1/2^(n-2) +1/2^(n-1) - (2n-5)/2^(n+1)
Tn/2=-3/2+1-(1/2)^(n-1) - (2n-5)/2^(n+1)
=-1/2-(2n-1)/2^(n+1)
Tn=-1-(2n-1)/2^n

Answer 3

Sn=n^2-4n+4=(n-2)^2
Sn-1=(n-3)^2
an=Sn-Sn-1=-4n+4+6n-9=2n-5
Bn=(2n-5)/2^n=n/2^(n-1) - 5/2^n
B1+B2+..+Bn=[1+1+3/4+4/8+..+n/2^(n-1)] -[5/2+5/4+5/8+..+5/2^n]
b'n=n/2^(n-1)=(n-1)/2^(n-1)+1/2^(n-1)
b'1+b'2+..+b'n=Sb'
Sb'-[Sb'/2-n/2^n]=2*[1-(1/2)^n]
Sb'=4-4(1/2)^(n)-n/2^(n-1)=4-(n-2)/2^(n-1)
5/2+5/4+..+5/2^n=(5/2)*(1-(1/2)^n)/(1-1/2)=5(1-1/2^n)
B1+B2+..+BN=(4-5)+[(5-4)-2n]/2^n=-1+(2n-1)/2^n

Answer 4

an=sn-sn-1=n*n-4n+4-[(n-1)*(n-1)-4(n-1)+4]=2n-5
Bn=An/2的n次方=[2n-5]/2^n
Tn= -3/2 + (-1/4) + 1/8 +……+[2n-5]/2^n
2Tn=-3/4 + (-1/8) + 1/16 +……+[2n-5]/2^n-1
2Tn-Tn=1-（2的n次方分之2n-1）

Answer 5

答：若Sn=An^2+Bn,则an定为差比数列。（你发现这规律没有？看看等差数列n项和公式是不是这个形式。）
若Sn=An^2+Bn+C，则an从第2项开始成等差数列
以上是规律。
,当n=1时，a1=s1=1
当n>=2时，an=Sn-S(n-1)=n^2-4n-[(n-1)^2-4(n-1)]=2n-5
且验证a1=1,不属于an=2n-5,
{ 1 当n=1
故an=
{ 2n-5,，当n>=2
故bn={1/2 当n=1
{(2n-5)/2^n 当n>=2
Tn=1/2+(2*2-5)/2^2+(2*3-5)/2^3+......+(2n-5)/2^n
则 1/2Tn=1/4+(2*2-5)/2^3+(2*3-5)/2^4+......+(2n-7)/2^n+(2n-5)/2^(n+1)
错位相减。1/2Tn=1/4+(2*2-5)/2^2+2/2^3+2/2^4+,....+2/2^n-(2n-5)/2^(n+1)
=1/4-1/4+(1/2^2+1/2^3+.....+1/2^(n-1))-(2n-5)/2^(n+1)
=1/2-(1/2)^(n-1)-(2n-5)/2^(n+1)
=1/2-(2n-1)/2^(n+1)
所以Tn=1-(2n-1)/2^n 以上n属于正整数

追问

谢谢，请问 错位相减法中两式是怎样相减的？还是不太清楚，特别是最后两项是怎样减来的？为什么是保留最后两项，而不是保留最后一项？“如无意外”，阁下的答案有可能将被取纳~悬赏分最高为-额外加上30分，谢谢你的时间！

Answer 6

请问An代表什么啊？
应该先求出an的通式
然后求Bn的通式，然后再求其Tn
An=Sn-S(n-1)=2n-5
Bn=[(2n-5)/2]^n
下面自己想吧