Question

在圆O中，弦AD,BC相交于点E,OE平分角AEC.求证：AB等于CD

Answer 1

圆O关于直线OE对称，
OE平分∠AEC，故射线EA与EC关于直线OE对称，
把整个圆沿直线OE对折，由对称性知A与C重合，故AE=CE，
同理可证BE=DE,（至此可知AD=BC，与前面网友的证明方法中得到的AD=BC结果一样）
又因为∠AEB=∠CED，
故三角形AEB全等于三角形CED，
故AB=CD。

Answer 2

过0点向AD、BC作垂线，得到垂线的长度相等（由OE平分角AEC得）。
两条弦到圆心的距离相等，就是两条弦长相等，即AB=CD

追问

如何证明弦心距相等的两条弦相等？

追答

画出图以后，连接oc,ob.
三角形oce,obf都是直角三角形，由勾股定理可以得到ce=bf，于是弦长相等

Answer 3

证明：
作OM⊥AD于点M，ON⊥BC于点N
∵OE平分∠AEC
∴∠AEO=∠CEO
∵角∠OME=∠ONE=90°
∵OE为共同边
∴△OME=△ONE
∴ON=OM
∴AD=BC（在同圆中，弦心距相等，则弦相等）
再连接AB,AC,CD.易得：∠ABC=∠CDA,∠BAC=∠DCA,且BC=AD.
故：△BAC≌△DCA (角角边)
∴AB=CD

看清楚题目问的！！！

Answer 4

证明：
作OM⊥AD于点M，ON⊥BC于点N
∵OE平分∠AEC
∴ON=OM
∴AB=CD（在同圆中，弦心距相等，则弦相等）

追问

如何证明弦心距相等的两条弦相等？

追答

如图，OE，OF是弦心距，OE=OF
证明：
连接OB、OC
∵OE=OF，OB=OC，∠OEC=∠OFB=90°
∴△OEC≌△OFB
∴CE=BF
∵CD=2CE，BA=2BF
∴CD=AB

Answer 5

证明
∵oe平分角aec,oe交圆周于f
∴cf弧=fa弧
∵∠ceb＝∠aed
对顶角
∴cb弧=da弧
∴cf弧+fa弧+cb弧=da弧+cf弧+fa弧
ab弧=cd弧
ab=cd
弧相等则弦也相等