Question

已知定义在实数集R上的函数y=f(x)满足条件：对于任意的x.y∈R,f(x)-f(y)=f(x-y)

(1):求证：f(x)是奇函数
（2）当x≥0时，f(x)＜0，试判断函数f(x)在R上的单调性，并证明

Answer 1

1.证明 令y=x，则有f（x）-f（x)=f(x-x)=f(0)=0
令x=0，则有f（0）-f（y）=f（0-y）
即 0-f（y)=f(-y)
-f(y)=f(-y)成立，由于y是任意取的，故f（y）是奇函数，即f（x）是奇函数。
2. 当x=0时，f（x）应该等于0。我觉得题目有点问题，应该是 当x>=0时，f（x）<=0
设y>=x
则 y-x>=0,
则有 f(y-x)<=0
f（y-x）=f（y)-f(x)<=0
即f（y）<= f(x)
所以f（x）是单调减函数。

Answer 2

(1)设z=x-y，则
f(z)=f(x-y)
=f(x)-f(y)
=-(f(y)-f(x))
=-f(y-x)
=-f(-(x-y))
=-f(-z)
所以，f(x)是奇函数
(2)对任意x2>x1
f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)<0
所以f(x)在定义域单调递减

Answer 3

1,f(x)-f(y)=f(x-y)
令y=x 则 f(x)-f(x)=f(0) f(0)=0
f(x)=f(y)+f(x-y)
令x=0 则有f（0）=f(y)+f(-y) 有f(-y)=-f(y) 为奇函数
2、令0=<x1<x2时 x2-x1>0 f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)<0 f(x2)<f(x1) 是减函数教学通jxt123.com/shuxue.htm数学值得参考学习

Answer 4

1.令x=0,y=0 所以f(0)-f(0)=f(0),所以f(0)=0
又令x=0所以f(x)-f(y)=f(-y) 得:f(y)=-f(-y)即证
2.因为是奇函数,所以当x<0的时候,f(x)>0 画图可知:f(x)单减

Answer 5

令x=0，y=0；
于是f(0)-f(0)=f(0-0)即f(0)=0：
令x=0，于是f(0)-f(y)=f(0-y)即-f(y)=f(-y)
此函数是奇函数。
令x>y,即x-y>0;
于是f(x)-f(y)=f(x-y)显然f(x-y)<0 (x≥0时，f(x)＜0)
所以f(x)-f(y)=,f(x-y)<0
x>y,f(x)-f(y)<0,故函数在R上单减

Answer 6

令x=0，y=0；
于是f(0)-f(0)=f(0-0)即f(0)=0：
令x=0，于是f(0)-f(y)=f(0-y)即-f(y)=f(-y)
此函数是奇函数。
令x>y,即x-y>0;
于是f(x)-f(y)=f(x-y)显然f(x-y)<0
(x≥0时，f(x)＜0)
所以f(x)-f(y)=,f(x-y)<0
x>y,f(x)-f(y)<0,故函数在R上单减