Question

一个正三棱椎A-BCD，底面边长为a，侧棱长为2a，过B点做与侧棱AC，AD相交的截面BEF，求截面三角形周长最小

Answer 1

解：1.分析 我们将侧面沿AB剪开，展成一个平面如图1。连接BB’,易知BB’‖CD.BB’与AC、AD分别交于E、F。显然，以BE、EF、FB’为截痕的截面的周长恰为一直线段，必是最短的。又因∠BEC=∠ACD=∠ACB，所以△AEC是等腰三角形，BE=BC=a,同理B’F=a.

2.作法 在侧面ABC中，在AC上取点E，使BE=BC=a, 在侧面ABD中，在AD上取点F，使BF=BD=a,

则△BEF即为所求的截面。

Answer 2

如图：截面三角形周长最小 ＝BB'  [侧面展开，直线最短。]

cosα＝[（2a）²+（2a）²-a²]/[2×2a×2a]＝7/8

∠CBB'＝180º-2∠BCA＝∠BAC＝α

BB'＝2BH+CD＝2（7/8）a+a＝（11/4）a.