Question

已知如图，O为△ABC内一点 试说明½AB+½AC+½BC＜OA+OB+OC＜AB+AC+BC

Answer 1

证明：
延长BO交AC于D,
在△ABD中，AB+AD>BD,即AB+AD>BO+OD(1),
在△OCD中，OD+CD>OC(2),
(1)+(2),得，
AB+AD+OD+CD>OB+OD+OC,
即:AB+AC>OB+OC,
同理：AB+BC>OA+OC,
BC+AC>OA+OB,
三式相加，得，
2（AB+BC+AC）>2(OA+OB+OC),
即OA+OB+OC<AB+AC+BC,
又在△OAB中，OA+OB>AB,
OB+OC>BC,
OA+OC>AC,
两式相加，所以OA+OB+OB+OC+OA+OC>AB+BC+AC,
所以2（OA+OB+OC）>AB+BC+AC
即:½AB+½AC+½BC＜OA+OB+OC
综合上面，得，½AB+½AC+½BC＜OA+OB+OC＜AB+AC+BC

Answer 2

证明：

   过A作AM=AO，交CO或者CO的延长线为M，同理过B点，作 BN=BO，交AO或者AO的延长线为N, 过C点作AP=CO，交BO或者BO的延长线为P；（见图1为锐角三角形情况，图2为钝角三角形的情况，图2中BN就交于AO内，并没有在AO的延长线上）

（1） 证明：AO+BO+CO>(AB+AC+BC)/2

由△ABO内，AO+BO>AB；同理得：BO+CO>BC；AO+CO>AC；

将上三个不等式相加，即得：AO+BO+BO+CO+AO+CO>AB+BC+AC,

整理得：AO+BO+CO>(AB+AC+BC)/2。

（2） 证明：AO+BO+CO<AB+AC+BC

       由△AMO内,由于∵AM=AO,∴∠M=∠AOM, 

又在△AOC中，∵∠AOM=∠ACO+∠OAC，∴∠AOM>∠ACO,

∴∠M>∠ACO，∴在△AMC中有：AC>AM，∵AM=AO,

∴  AC>AO；……………………………………① 

同理利用△BNO、△BAO与△BNA同样方法，可以证明：AB>BO；……③.

同理利用△PCO、△BCO与△BCP同样方法，可以证明：BC>CO；……③.

①+②+③ 得：AB+AC+BC>AO+BO+CO。

综合（1）、（2）得：(AB+AC+BC)/2< AO+BO+CO< AB+AC+BC。