Question

初三数学题！！！！急急急急！在线等！要具体过程！

如图，抛物线F：y=ax²+bx+c的顶点为P，抛物线与y轴交于点A，与直线OP交于点B。过点P做PD⊥x轴于点D，平移抛物线F使其经过点A，D得到抛物线F“=a"x²+b"x+c"，抛物线F“于x轴的另一个交点为C.
(1)a=1,b=-2,c=3时，求C点的坐标；
(2)若a,b,c都满足b²=2ac，则；
①求b:b"的值
②探究OABC的形状，并说明理由

Answer 1

（1）当a=1,b=-2,c=3时
y=ax²+bx+c => y=x²-2x+3=(x-1)²+2 => P(1,2 ) => D（1,0）
∵y"=a"x²+b"x+c"为抛物线F：y=ax²+bx+c平移所得，并且经过A，D两点
∴a=a"=1; c=c"=3
∴y"=x²+b"x+3
将D（1，0）代入得b"= - 4
∴y"=x²-4x+3
∴y"=x²-4x+3=(x-1)(x-3)
可知抛物线y"=x²-4x+3与x轴的两交点坐标为（1，0）（3，0），即：D（1，0），C（3，0）
（2）①由 y=ax²+bx+c => P(-b/2a, (4ac-b²)/4a) =>D(-b/2a,0)
由（1）可知y"=ax²+b"x+c
将D(-b/2a,0)代入y"=ax²+b"x+c得 b²/4a+b"×(-b/2a)+c=0
又b²=2ac,∴b²/4a+b"×(-b/2a)+c=3c/2+b"×(-b/2a)=0 => 3ac=b"×b => b:b"=2:3
② 由b²=2ac ； b:b"=2:3
为方便计算，可假设b= -2,b"= - 3, a=1,c=2
则两函数分别为 y=x²-2x+2
y"=x²-3x+2
可知P（1，1）=>直线OP为 y=x
将y=x代入y=x²-2x+2得x1=1;x2=2
可知直线与抛物线的两交点分别为:P（1，1）B（2，2）
又 y"=x²-3x+2与x轴的两交点为：D（1，0）C（2，0）
可知BC垂直x轴。
又A（0，2）
所以OABC为正方形