Question

设事件A，B，C相互独立，试证明A并B与C相互独立

Answer 1

你给出的抽球的例子不太合适，a，b都代表的是概率，而不是事件，所以谈不上互斥或者独立。
独立事件是指若a1，a2，a3，……an这些事件相互独立，则其中任何一个发生与否，都与其它事件的发生与否没有任何关系，互不影响。
互斥事件是指若a1，a2，a3，……an这些事件互斥，则其中任何一个发生了，其它的事件都不会发生。
证明独立性，就是用你说的p(a∩b)=p(a)p(b)式子来证，即如果p(a∩b)=p(a)p(b)成立，那么a与b相互独立；如果p(a∩b)=p(a)p(b)不成立，则a与b不相互独立。反过来，如果a与b相互独立，则p(a∩b)=p(a)p(b)成立，反之亦然。所以式子p(a∩b)=p(a)p(b)的成立是a与b相互独立充要条件。具体证法就是分别算出
p(a∩b)和p(a)p(b)，看他们是否相等。
对于你补充的那个无限循环的证明是不会发生的，因为p(b|a)=p(b)与p(a∩b)=p(a)p(b)是等价的，而p(b|a)=p(a∩b)/p(a)与他们不同，所以在不知道a、b是不是独立事件的情况下，只能用p(b|a)=p(a∩b)/p(a)，另外的两个都不能用。如果知道了a、b互为独立事件，则三个都能用。
如果是通过p(b|a)=p(b)来证明独立，那么与通过p(a∩b)=p(a)p(b)来证明是一样的，就看题中给什么样的条件了，在选择用哪一个比较方便。

Answer 2

由B、C独立：
P(A(B+C))=P(AB)+P(AC)
由A、B独立，A、C独立：
P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A）P（C）
于是
P(A(B+C))=P（A)(P(B)+P(C)）
=P(A)P(B+C) (由B、C独立）

Answer 3

1°证明：P（AB）=P（A）*P(B);P（AC）=P（A）*P(C);P（BC）=P（B）*P(C).
P(ABC)=P(A)*P(B)*P(C)=P(AB)*P(C)
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) P(A∪B)*P(C)=P(A)*P(C)+P(B)P(C)-P(AB)P(C)=P(AC)+P(BC)-P(ABC)=P[(A∪B)C]
P(A-B)*P(C)=P(A)P(C)-P(AB)P(C)=P(AC)-P(ABC)=P(AC-ABC)=P((A-B)C)