Question

已知椭圆的一个顶点为A（0，-1），焦点在x轴上，其右焦点到直线x-y+2 2 =0的距离为3．（1

已知椭圆的一个顶点为A（0，-1），焦点在x轴上，其右焦点到直线x-y+2 2 =0的距离为3．（1）求椭圆的方程；（2）直线y= 3 3 x+1与椭圆交于P、N两点，求|PN|．

Answer 1

（1）由题意设椭圆方程为 x 2 a 2 + y 2 b 2 =1（a＞b＞0）． ∵b=1，又设右焦点F为（c，0）， 则 |c+2 2 | 2 =3，解得c= 2 ，∴a= 3 ． ∴椭圆方程为 x 2 3 +y 2 =1． （2）设直线与椭圆的交点为P（x 1 ，y 1 ）、N（x 2 ，y 2 ）， 则 y= 3 3 x+1 x 2 3 + y 2 =1 解方程组得 x 1 =0 y 1 =1 解 x 2 =- 3 y 2 =0 ∴直线与椭圆的交点为P（0，1），N（- 3 ，0）． ∴|PN|= ( 3 ) 2 + 1 2 =2．