Question

（2007?石景山区一模）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AD=BC=2，对角线AC⊥BD于O

（2007?石景山区一模）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AD=BC=2，对角线AC⊥BD于O，∠DAO=60°，且PO⊥平面ABCD，直线PA与底面ABCD所成的角为60°，M为PD上的一点．（Ⅰ）证明：PD⊥AC；（Ⅱ）求二面角A-PB-D的大小．

Answer 1

解：（I）∵PO⊥平面ABCD
∴DO为DP在平面ABCD内的射影
又AC⊥BD
∴AC⊥PD
（Ⅱ）过O作ON⊥PB于N，连接AN．
∵PO⊥平面ABCD，
又AO?平面ABCD，
∴PO⊥AO
由已知AO⊥BD，BD∩PO=O
∴AO⊥平面PBD．
∴ON为AN在平面PBD内的射影，
∴PB⊥AN．
∴∠ANO为二面角A-PB-D的平面角．
在Rt△AOD中，AO=1．
∵PO⊥平面ABCD，
∴OA为PA在底面ABCD内的射影
∴∠PAO为直线PA与底面ABCD所成的角，
∴∠PAO=60°
∴Rt△POA中，PO=

3

∵四边形ABCD为等腰梯形
∴△ABD≌△BAC
∴∠ABD=∠BAC
∴OA=OB=1（8分）
在Rt△POB中，PB=2
∴ON＝

PO?OB

PB

＝

3 ×1

2

＝

3

2

.
在Rt△AON中，tan∠ANO＝

AO

ON

＝

1

3 2

＝

2 3

3

.
∴二面角A-PB-D的大小为arctan

2 3

3

.