Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，AD=2PA=2BC=2．（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面PCD；（Ⅱ）在线段PD上是否存在点E，使CE与平面PAD所成的角为45°？若存在，求出有PEPD的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

证明：（Ⅰ）连接AC，
∵PA=BC=1，AD=2．
∵PA⊥面ABCD，
∴PA⊥AB，
而∠PBA=45°，
∴AB=1，
又∠ABC=∠BAD=90°，
易得CD=AC=

2

．
由勾股定理逆定理得则AC⊥CD，
又PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴PA⊥CD．
又∵AC，PA?平面PAC，AC∩PA=A，
∴CD⊥平面PAC，
又∵CD?平面PCD，
∴平面PAC⊥平面PCD．

（Ⅱ）取AD中点M，连接CM，
∵AD=2BC，故AM=BC，
此时四边形ABCM为矩形，则CM⊥AD，
又∵PA⊥平面ABCD，CM?平面ABCD，
∴PA⊥CM．
∵AD，PA?平面PAD，AD∩PA=A，
∴CM⊥平面PAD，
连接ME，∠CME就是CE与平面PAD所成的角．
∵CM=1，
∴ME=1，在△PAD中，MD=1，

PE

PD

=1．
不难求到另一个点E的位置为

PE

PD

=

1

5

，
所以，线段PD上存在点E，使CE与平面PAD所成的角为45⁰，此时

PE

PD

=1或

1

5

．