Question

（2014?葫芦岛一模）如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，四边形BDEF是矩形，

（2014?葫芦岛一模）如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF=3，H是CF的中点．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDEF；（Ⅱ）求直线DH与平面BDEF所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角H-BD-C的大小．

Answer 1

解答：（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD．
又∵平面BDEF⊥平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD=BD，
且AC?平面ABCD，
∴AC⊥平面BDEF；
（Ⅱ）解：设AC∩BD=O，取EF的中点N，连接ON，
∵四边形BDEF是矩形，O，N分别为BD，EF的中点，
∴ON∥ED，
∵ED⊥平面ABCD，
∴ON⊥平面ABCD，
由AC⊥BD，得OB，OC，ON两两垂直．
∴以O为原点，OB，OC，ON所在直线分别为x轴，y轴，z轴，如图建立空间直角坐标系．
∵底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，BF=3，
∴A（0，-

3

，0），B（1，0，0），D（-1，0，0），E（-1，0，3），F（1，0，3），C（0，

3

，0），H（

1

2

，

3

2

，

3

2

）
∵AC⊥平面BDEF，
∴平面BDEF的法向量

AC

=（0，2

3

，0）．
设直线DH与平面BDEF所成角为α，
∵

DH

=（

3

2

，

3

2

，

3

2

），
∴sinα=|cos＜

DH

，

AC

＞|=|

DH ? AC

| DH || AC |

|=

7

7

，
∴直线DH与平面BDEF所成角的正弦值为

7

7

；
（Ⅲ）解：由（Ⅱ），得

BH

=（-

1

2

，

3

2

，

3

2

），

DB

=（2，0，0）．
设平面BDH的法向量为

n

=（x，