Question

在平面直角坐标系xoy中，直线l与抛物线y 2 =4x相交于不同的A、B两点．（Ⅰ）如果直线l过抛物线的焦点，求

在平面直角坐标系xoy中，直线l与抛物线y 2 =4x相交于不同的A、B两点．（Ⅰ）如果直线l过抛物线的焦点，求 OA ? OB 的值；（Ⅱ）如果 OA ? OB =-4，证明直线l必过一定点，并求出该定点．

Answer 1

（Ⅰ）由题意：抛物线焦点为（1，0） 设l：x=ty+1代入抛物线y 2 =4x消去x得， y 2 -4ty-4=0，设A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ） 则y 1 +y 2 =4t，y 1 y 2 =-4 ∴ OA ? OB =x 1 x 2 +y 1 y 2 =（ty 1 +1）（ty 2 +1）+y 1 y 2 =t 2 y 1 y 2 +t（y 1 +y 2 ）+1+y 1 y 2 =-4t 2 +4t 2 +1-4=-3． （Ⅱ）设l：x=ty+b代入抛物线y 2 =4x，消去x得 y 2 -4ty-4b=0设A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ） 则y 1 +y 2 =4t，y 1 y 2 =-4b ∴ OA ? OB = x 1 x 2 + y 1 y 2 =（ty 1 +b）（ty 2 +b）+y 1 y 2 =t 2 y 1 y 2 +bt（y 1 +y 2 ）+b 2 +y 1 y 2 =-4bt 2 +4bt 2 +b 2 -4b=b 2 -4b 令b 2 -4b=-4，∴b 2 -4b+4=0∴b=2． ∴直线l过定点（2，0）．