Question

已知等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1 +2a 2 =1，a 23 =4a 2 a 6 ．（1）求数列{a n }的通

已知等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1 +2a 2 =1，a 23 =4a 2 a 6 ．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n =log 2 a 1 +log 2 a 2 +…+log 2 a n ，求数列{ 1 b n }的前n项和．

Answer 1

（1）设等比数列{a n }的公比为q，由a 23 =4a 2 a 6 得a 23 =4 a 24 ， ∴q 2 = 1 4 ，由已知a n ＞0，∴q= 1 2 ， 由a 1 +2a 2 =1，得2a 1 =1，∴a 1 = 1 2 ， ∴数列{a n }的通项公式为a n = 1 2 n ． （2）b n =log 2 a 1 +log 2 a 2 +…+log 2 a n =-（1+2+…+n）=- n(n+1) 2 ∴ 1 b n = - 2 n(n+1) =-2（ 1 n - 1 n+1 ）， ∴数列{ 1 b n }的前n项和=-2[（1- 1 2 ）+（ 1 2 - 1 3 ）+…+（ 1 n - 1 n+1 ）]=- 2n n+1 ．