Question

（2014?闸北区二模）已知：如图，在梯形ABCD中，DF平分∠D，若以点D为圆心，DC长为半径作弧，交边AD于点E

（2014?闸北区二模）已知：如图，在梯形ABCD中，DF平分∠D，若以点D为圆心，DC长为半径作弧，交边AD于点E，联结EF、BE、EC．（1）求证：四边形EDCF是菱形；（2）若点F是BC的中点，请判断线段BE和EC的位置关系，并证明你的结论．

Answer 1

（1）∵DF平分∠D，
∴∠EDF=∠CDF，
∵DC长为半径作弧，
∴ED=DC，
在△EDF与△CDF中，

ED=DC ∠EDF=∠CDF DF=DF

，
∴△EDF≌△CDF（SAS）
∴EF=CF，
∵四边形ABCD是梯形，
∴AD∥BC，
∴∠EDF=∠DFC，
∴∠DFC=∠CDF，
∴CF=CD，
∴ED=DC=CF=EF，
∴四边形EDCF是菱形．
（2）线段BE和EC的位置关系是垂直． 
∵点F是BC的中点，
∴BF=CF，
∴BF=ED，
∵ED∥BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴BE∥DF 
∵四边形EDCF是菱形，
∴EC⊥DF 
∴BE⊥EC．